Extremwertaufgabe Halbkreis Rechteck

04.04.2020, 17:34

timmy4

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Extremwertaufgabe Halbkreis Rechteck

Meine Frage:
Hallo ich soll in dem Halbkreis mit dem Durchmesser AB, auf dem eine Senkrechte errichtet wird CD für die der Umfang des Rechtecks mit den Seiten AC und CD ein Maximum wird.

Die Senkrechte befindet sich allerdings vom Mittelpunkt aus gesehen auf der rechten Seite innerhalb des Kreises

(A______Mittelpunkt______C___B) Der Punkt D befindet sich auf dem Halbkreis, C und D sind durch eine Gerade/Strecke die normal auf AB steht verbunden

Meine Ideen:
Hauptbedingung ist klar : U= 2a + 2b wobei A die Seite von A bis C und b die Seite von C-D ist.

Ich komme aber nicht weiter beim Aufstellen der Nebenbedingung.

Leider hat das Hochladen der Skizze nicht funktioniert.

Hat jemand einen Tipp und kann mir weiterhelfen ?

04.04.2020, 17:56

Steffen Bühler

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RE: Extremwertaufgabe Halbkreis Rechteck
Die Funktion für den Halbkreis mit Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt {r^2-x^2} \end{eqnarray*}$

Beispielsweise für r=2:

Kommst Du damit schon weiter?

Viele Grüße
Steffen

04.04.2020, 18:40

timmy4

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RE: Extremwertaufgabe Halbkreis Rechteck
Ich weiss, dass die 3 Punkte A,B und D auf dem Halbkreis liegen. Ich könnte diese 3 in die Funktionsgleichung einsetzen - aber was mir das jetzt bringt weiß ich noch nicht.
?

04.04.2020, 19:11

Ulrich Ruhnau

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RE: Extremwertaufgabe Halbkreis Rechteck

Zitat:

Original von timmy4
Hallo ich soll in dem Halbkreis mit dem Durchmesser AB, auf dem eine Senkrechte errichtet wird CD für die der Umfang des Rechtecks mit den Seiten AC und CD ein Maximum wird.
Hauptbedingung ist klar : U= 2a + 2b wobei a die Seite von A bis C und b die Seite von C-D ist.

Ich schätze mal, daß der Umfang des braunen Quadrates maximiert werden soll, wobei sich der Punkt D auf der oberen Hälfte des Kreises bewegen darf.
[attach]50921[/attach] Dann muß Du nur noch ein Maximum für U(x)=2a(x)+2b(x) finden.

04.04.2020, 19:51

timmy4

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RE: Extremwertaufgabe Halbkreis Rechteck
genau das hätt ich mir ja auch überlegt - leider komm ich nicht weiter

04.04.2020, 20:12

Steffen Bühler

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RE: Extremwertaufgabe Halbkreis Rechteck
Du kannst die Strecke AC mit x und r ausdrücken, genauso die Strecke CD. So bekommst Du eine Funktion f(x) mit dem Parameter r, die zu maximieren ist.

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04.04.2020, 20:16

metronom

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Das Rechteck soll also gar nicht vollständig (und damit symmetrisch) innerhalb vom Halbkreis sein ? verwirrt

verwirrt

04.04.2020, 20:38

Ulrich Ruhnau

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RE: Extremwertaufgabe Halbkreis Rechteck

Zitat:

Original von timmy4
genau das hätt ich mir ja auch überlegt - leider komm ich nicht weiter

Die Punkte A und M haben den Abstand $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ (Radius).
Die Punkte M und C haben den Abstand $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (x-Koordinate vom Punkt D).
Die Punkte C und D haben den Abstand $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ (y-Koordinate vom Punkt D).

Du hast doch geschrieben: $\begin{eqnarray*} U =2a+2b \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du nur noch $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ als Funktion von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ausdrücken. Dabei muß das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auch durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ausgedrückt werden.

04.04.2020, 20:51

timmy4

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RE: Extremwertaufgabe Halbkreis Rechteck
alles klar - ich weiß jetzt was zu tun ist - werds ausprobieren.
danke für eure hilfe.

04.04.2020, 21:21

Leopold

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Ich weiß, man soll sich im MatheBoard nicht einmischen, wenn sich Fragesteller und Helfer auf einen Weg geeinigt haben. Ich tu es trotzdem, aber nicht im Sinn, daß ich sagen wollte, das Bisherige sei alles Quatsch. Ist es nicht. Ich will nur einen alternativen Lösungsweg aufzeigen. timmy möge zuerst den bisherigen Vorschlag verfolgen und zu Ende führen, was er offensichtlich sowieso vorhat. Wenn er dann noch Lust verspürt, kann er sich an meine Alternative machen. Sie schlägt, ähnlich wie schon hier den trigonometrischen Weg ein. Keineswegs ist zu empfehlen, beide Varianten durcheinander oder gleichzeitig zu bearbeiten. Im übrigen ist es immer sinnvoll, alternative Lösungen zu probieren. Man lernt viel dabei und erweitert sein Spektrum an Möglichkeiten.

Man denkt hier unwillkürlich an die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Und wenn der Kreis den Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ hat, muß man noch mit $\begin{align*} r \end{align*}$ strecken. Man kann aber auch von vorneherein nur am Einheitskreis rechnen und hat gegebenenfalls am Ende die Streckung noch in den Ergebnissatz einzubauen, falls das Ergebnis für einen beliebigen Kreis ausgesprochen werden soll.

Dann also der Einheitskreis. Betrachten wir den Winkel $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ bei $\begin{align*} M \end{align*}$ im Dreieck $\begin{align*} MCD \end{align*}$ (siehe Zeichnung von Ulrich Ruhnau). Während $\begin{align*} D \end{align*}$ von rechts außen über den oberen Halbkreisbogen nach links außen wandert, läuft $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ von 0 bis $\begin{align*} \pi \end{align*}$ . Die Koordinaten von $\begin{align*} D \end{align*}$ entsprechen der Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Und die Länge und Höhe des Rechtecks können unmittelbar mit Hilfe der Koordinaten von $\begin{align*} D \end{align*}$ angegeben werden. Und schon hat man die Zielfunktion in Abhängigkeit von $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ , nahezu ohne Rechnung:

$\begin{align*} u = u(\varphi) \, , \ \ 0 \leq \varphi \leq \pi \end{align*}$

Man kann sich natürlich von vorneherein auf $\begin{align*} 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} \end{align*}$ beschränken. Offensichtlich kann für das Rechteck mit maximalem Umfang $\begin{align*} D \end{align*}$ nicht im linken oberen Viertelkreis liegen.

04.04.2020, 21:57

tischbein

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Und noch eine Alternative:

Ich musste sofort an den Thaleskreis denken und demnach an den Höhensatz im Dreieck ABD als Nebenbedingung.
Ferner kann es sich aufgrund der Wurzel lohnen die quadrierte Zielfunktion zu betrachten.

04.04.2020, 23:11

Ulrich Ruhnau

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Was sich hier besonders lohnt, ist die Erkenntnis, daß im Punkt x=y die Rechteckseite a immer das verliert, was die Seite b dazu gewinnt, also $\begin{eqnarray*} \delta a + \delta b = 0 \end{eqnarray*}$ , womit ein Extremwert für den Umfang erreicht ist. Meine Zeichnung zeigt bereits das Maximum für den Umfang des Rechtecks. Da ist offenbar Euer $\begin{eqnarray*} \varphi=\frac \pi 4 \end{eqnarray*}$ .

05.04.2020, 07:36

Leopold

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Hier kann man das auch noch einmal schön in der Euklid-Zeichnung im Anhang sehen.

05.04.2020, 07:58

timmy4

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Also ich hätte jetzt für a = 2r - x und für b = r - x gewählt. Soweit so gut. Dann setzte ich
diese Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. Komme am dann auf die Funktion
U(x) = 6r - 4x mit dem Definitonsbereich [0,r].
Wenn ich allerdings die Funktion jetzt nach x ableite kommt ja -4 raus und das stimmt ja beim 0 setzten nicht mehr - wo ist hier der Fehler ?

05.04.2020, 08:15

timmy4

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ich verstehe den Ansatz und finde den auch logisch, aber wie verschriftliche das jetzt genau muss man dann auch noch ableiten und Null setzen - bzw. wie veränders sich jetzt die Bedingungen ?

05.04.2020, 09:59

Leopold

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Das kann irgendwie gar nicht sein. Vielleicht liegt es daran, daß dir die Rolle von $\begin{align*} x \end{align*}$ nicht klar ist. Ich habe es so verstanden, daß $\begin{align*} x,y \end{align*}$ die Koordinaten des Kreispunktes $\begin{align*} D \end{align*}$ sein sollen. Wenn du mit $\begin{align*} x \end{align*}$ etwas anderes meinen solltest, dann mußt du das sagen und deinen Ansatz danach ausrichten. Wenn du dir selber über deine Bezeichner nicht im klaren bist, wie willst du dann einen sinnvollen Ansatz aufstellen?

Ich gehe jetzt einmal davon aus, daß $\begin{align*} D=(x,y) \end{align*}$ ist. Was ist dann $\begin{align*} a \end{align*}$ , die Länge der Seite $\begin{align*} AC \end{align*}$ , ausgedrückt mit $\begin{align*} x \end{align*}$ ? Auf jeden Fall nicht $\begin{align*} a = 2r-x \end{align*}$ . Denn dieser Term liefert für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ den Wert $\begin{align*} a=2r \end{align*}$ , obwohl, wie die Zeichnung zeigt, $\begin{align*} a=r \end{align*}$ gelten müßte, denn es wäre ja $\begin{align*} D=\text{Nordpol} \end{align*}$ . Und für $\begin{align*} x=r \end{align*}$ liefert der Term $\begin{align*} a=r \end{align*}$ , obwohl doch $\begin{align*} a=2r \end{align*}$ gelten müßte, denn es wäre ja $\begin{align*} D=B \end{align*}$ . Und schließlich kommt für $\begin{align*} x=-r \end{align*}$ der Wert $\begin{align*} a=3r \end{align*}$ heraus. Dabei müßte $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ sein, denn es wäre $\begin{align*} D=A \end{align*}$ .

Jetzt beginne noch einmal von vorne und gib $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ korrekt als Terme in $\begin{align*} x \end{align*}$ an. Und denke immer daran, wie $\begin{align*} x \end{align*}$ festgelegt wurde. Es macht jede mathematische Überlegung zu Unsinn, wenn man zwischendurch die Bedeutung von Größen ändert.

05.04.2020, 10:38

timmy4

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ok, vielleicht bin ich komplett auf der Leitung gestanden - oder stehe es immer noch ...
a= r+x und b= (r^2-x^2)^(1/2)
?

05.04.2020, 10:42

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von timmy4
Also ich hätte jetzt für a = 2r - x und für b = r - x gewählt. - wo ist hier der Fehler ?

Die Punkte C und D haben die gleiche Koordinate x. Der Abstand der Punkte A und C beträgt auf jeden Fall schon mal:

$\begin{eqnarray*} a(x) = r + x \end{eqnarray*}$

Der Abstand der Punkte C und D beträgt $\begin{eqnarray*} b = y \end{eqnarray*}$ .

Der Abstand der Punkte M und D beträgt $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .
Nach Pythagoras gilt $\begin{eqnarray*} r^2=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn Du diese Gleichung nach y auflöst, bekommst Du die Gleichung von Steffen Bühler

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$

05.04.2020, 11:34

Leopold

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@ timmy4

Die Werte für $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ stimmen jetzt. Dann rechne die Sache zu Ende. Und vergiß nicht, den Definitionsbereich anzugeben.

Da ich den Eindruck bekommen habe, daß du einer der Schüler bist, die eine Sache durchdringen wollen und nicht zufrieden sind, wenn da eine halb oder drei Viertel verstandene Lösung steht, empfehle ich dir, diese Datei durchzuarbeiten. Sie ist für Schüler gemacht, die über den Tellerrand hinausgucken wollen. Danach könntest du meinen alternativen Ansatz oder den von tischbein durcharbeiten. Einfach damit du siehst: es gibt nicht nur einen Weg.

05.04.2020, 19:36

timmy4

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danke !

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