Gleichmäßige Konvergenz

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05.04.2020, 16:31	Bella1010	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz Meine Frage: Hallo, die Aufgabe lautet: Zeige, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f_{n}(x):[0,\infty) \to \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_{n}(x) = x^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ auf jedem Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \subset [0, \infty) \end{eqnarray}$ gleichmäßig konvergiert. Meine Ideen: Also fn konvergiert ja auf jeden Fall punktweise gegen die Funktion f(x)=1. Das heißt, ich muss jetzt irgendwie \|x^(1/n) - 1\| nach oben abschätzen. Habe aber leider keine Ahnung wie. Könnt ihr mi helfen? Danke im Voraus!
05.04.2020, 18:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz Ich nehme mal an $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ ist gefordert, sonst ist es falsch. Jedenfalls genügt es $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ monoton wachsend zu benutzen, um zu argumentieren, warum $\begin{eqnarray} f_n(a) \leq f_n(x) \leq f_n(b) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in [a,b] \end{eqnarray}$ gilt. Damit kriegt man schnell Abschätzungen hin.
05.04.2020, 18:32	Bella1010	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz Danke! Dass $\begin{eqnarray} a^{\frac{1}{n}} - 1 \leq x^{\frac{1}{n}} -1 \leq b^{\frac{1}{n}} - 1 \end{eqnarray}$ gilt, ist ja klar, aber wie zeige ich damit den ganzen Kram mit Epsilon, um so die gleichmäßige Konvergenz zu beweisen?
05.04.2020, 19:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz Als nächstes gilt es daraus eine Ungleichung mit dem Betrag abzuleiten. Hast du eine Idee, was aus $\begin{eqnarray} x \leq y \leq z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0 \leq \|y\| \leq ... \end{eqnarray}$ folgt? Edit: Ab Morgen werde ich wohl nicht unterstützen können. Bitte jemand einspringen
06.04.2020, 01:59	Bella1010	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz Daraus folgt $\begin{eqnarray} \|y\| \leq z - x \end{eqnarray}$ , oder? Auf jeden Fall danke für deine Hilfe
06.04.2020, 08:50	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz Mach doch einfach eine Fallunterscheidung. a) $\begin{eqnarray} 1 \leq a < b \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} () \quad 1 \leq f_n(a) \leq f_n(x)\leq f_n(b) \text { für } x \in [a,b] \end{eqnarray}$ Sei nun $\begin{eqnarray} \|f_n(b)-1\|=f_n(b)-1 < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq n_0 \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ gilt das für alle $\begin{eqnarray} x \in [a,b] \end{eqnarray}$ und die gleichmäßige Konvergenz in diesem Intervall ist gezeigt. b) $\begin{eqnarray} 0 < a < b \leq 1 \end{eqnarray}$ Das kann man ganz analog abhandeln, nur dass jetzt der Punkt $\begin{eqnarray} x=a \end{eqnarray}$ abdeckend für das ganze Intervall ist. c) $\begin{eqnarray} 0 < a < 1 < b \end{eqnarray}$ Aus a) und b) findet man ein $\begin{eqnarray} n_1 \end{eqnarray}$ , das das Intervall $\begin{eqnarray} [1,b] \end{eqnarray}$ abdeckt und ein $\begin{eqnarray} n_2 \end{eqnarray}$ , das das Intervall $\begin{eqnarray} [a, 1] \end{eqnarray}$ abdeckt. Dann deckt das Maximum von $\begin{eqnarray} n_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_2 \end{eqnarray}$ das gesamte Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ ab.
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06.04.2020, 15:15	Bella1010	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz Danke, aber aus deinen Ausführungen werde ich nicht ganz schlau. Meinst du in a), dass man $\begin{eqnarray} n_{0} \end{eqnarray}$ so wählt, dass $\begin{eqnarray} f_{n}(b) < \varepsilon \end{eqnarray}$ gilt?
06.04.2020, 15:42	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz Ja, aber $\begin{eqnarray} f_n(b)-1 \end{eqnarray}$ soll kleiner $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq n_0 \end{eqnarray}$ . Wenn die punktweise Konvergenz schon bewiesen oder bekannt ist, weißt du ja, dass es für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ein solches $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ gibt.
06.04.2020, 16:03	Bella1010	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz Ja, aber das könnte doch auch von x ahängig sein und das ist bei der gleichmäßigen Konvergenz doch nicht mehr erlaubt?
06.04.2020, 16:35	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz Zunächst soll nicht $\begin{eqnarray} f_n(b)< \epsilon \end{eqnarray}$ sein, sondern $\begin{eqnarray} f_n(b)-1 \end{eqnarray}$ . Es ist ja $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ der Grenzwert der Funktionenfolge. Ich habe das in meiner letzten Antwort korrigiert. Das kann doch nicht von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängen. Es wird doch hier nur der Punkt $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ betrachtet. Das ist ein fester Wert.

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