Isoperimetrisches Problem

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timmy4 Auf diesen Beitrag antworten »
Isoperimetrisches Problem
Meine Frage:
Hi bitte um Hilfe, also die Aufgabe lautet unter allen Dreiecken mit gegeben Umfang hat das gleichseitige Dreieck den größten Flächeninhalt.

Meine Ideen:
Ich möchte die Aufgabe elementar mittels der Ungleichung des aritmetischen und geometrischen Mittels lösen. Wollte dabei vorgehen wie bei dem Klassiker : unter all den Rechtecken mit gleichen Umfang hat das Quadrat die größte Fläche. Hier drückt man ja die Seiten aus und setzt sie dann in die Flächenformel ein und zieht die Wurzel dann stimmt die Aussage durch die Ungleichung : Wie setzte ich allerdings hier an - mit den 3 verschiedenen Formeln des Dreieckes und der Höhe ?
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Welche drei Formeln hast Du denn zur Auswahl?
timmy4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Naja ich habe geglaubt, dass ich von einem allgemeinen Dreiceck ausgehe und von dem dann auf das gleichseitige schließen muss.
allgmeines Dreieck: 3 verschiedenen Seiten - 3 verschiedene Höhen und dadurch 3 verschiedene Möglichkeiten der Flächenberechnung.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Halte erst mal eine Seite fest und betrachte nur Veränderungen der anderen beiden Seiten bei gleichem Umfang. Es ist dann leicht zu zeigen, dass die beiden anderen Seiten gleich sein müssen, das Dreieck also gleichschenklig sein muss. Jetzt hält man eine der gleichen Seiten fest und wieder müssen die beiden anderen Seiten gleich lang sein. Das kann man beliebig fortsetzen, solange das Dreieck nicht gleichseitig. Zu jedem nicht gleichseitigen Dreieck kann man also eins mit gleichem Umfang aber größerer Fläche finden. Also hat das gleichseitige Dreieck die größte Fläche.
timmy4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
ich verstehe leider nicht wie ich das ansetzen soll bzw. zeigen, ist bei diesem Vorschlag die Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mittel enthalten.

Mein Ansatz ist:

wenn x,y,z die Seiten des Dreiecks sind, dann ist ((x+y+z)/3) ein Drittel des Umfangs und konstant. Jetzt hätte ich als nächstes irgendwie die Fläche ins Spiel gebracht und anschließend mittels der arithmetischen geometrischen Ungleichung gezeigt, dass die Fläche maximal wird wenn die drei Seiten gleich lang sind, aber ich weiß nicht genau wie ich das anstellen soll.

??
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Zitat:
Original von timmy4
ist bei diesem Vorschlag die Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mittel enthalten.

Nein, die wird bei meinem Vorschlag nicht benutzt.
 
 
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Zitat:
Original von timmy4
Hi bitte um Hilfe, also die Aufgabe lautet unter allen Dreiecken mit gegeben Umfang hat das gleichseitige Dreieck den größten Flächeninhalt.

Der Umfang eines Dreiecks ist gegeben durch . Der Flächeninhalt ist gegeben durch .
[attach]50946[/attach]
Zu zeigen ist hier, daß sein muß und .

Dazu würde ich gerne den Langange - Multiplikator einsetzen. Diese Methode ist an den Schulen zwar nicht unbedingt üblich, aber ich mache es trotz dem.

Zu optimieren ist unter der Nebenbedingung . Ich setze also an,













(von mir korrigiert)



Und wenn man das alles schön ineinander einsetzt, müßte und herauskommen.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Zunächst Dank an Ulrich Ruhnau für die Anregung der multivariaten Optimierung. Es hat mich einfach nicht ruhen lassen, diesen Weg zu Ende zu führen, zumal ich aufgrund
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Und wenn man das alles schön ineinander einsetzt, müßte und herauskommen.

den Verdacht hatte, dass Ulrich da selbst nicht so ganz drauf vertraut.
Ich greife also die Methode auf, schreibe sie aber nochmal anders hin:

Gradienten von Haupt- und Nebenbedingung:





mit dem Hinweis, dass bei Ulrichs der Summand 1+ offenbar falsch ist.

Es soll nun also gelten



1. Schritt: Beginn mit 3. Komponente





Angewendet auf 1. und 2. Komponente:















2. Schritt: Beginn mit 1. Komponente





Angewendet auf 3. Komponente:





mit aus dem 1. Schritt und :















Qudratische Gleichung mit Substitution gelöst:





Alles in allem eine langwierige Plackerei (auf Papier sieht es noch viel wilder aus), wobei ich mir selbst nicht sicher bin, ob der Weg so tatsächlich korrekt ist, obwohl das gewünschte Ergebnis rauskommt.

Nachdem noch kein anderer Helfer eine bequeme Lösung vorgeschlagen hat: Ist der Dreiecksbeweis wirklich so ungleich schwerer als der läppische Fall beim Rechteck/Quadrat?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Zitat:
Original von klauss
Nachdem noch kein anderer Helfer eine bequeme Lösung vorgeschlagen hat

Die Rechnung bei meinem Vorschlag ist jedenfalls deutlich kürzer.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im Anhang eine dynamische Euklid-Zeichnung zur Veranschaulichung von Huggys Vorschlag.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Zitat:
Original von klauss
Gradienten von Haupt- und Nebenbedingung:





mit dem Hinweis, dass bei Ulrichs der Summand 1+ offenbar falsch ist.

Danke Klaus, daß Du meinen Fehler gefunden hast! Bei größeren Rechnungen nehme ich gerne Maple zur Hilfe, aber als ich dann einen Ausdruck für a berechnen wollte, kam b heraus, was zwar richtig ist bei dieser Optimierung, jedoch fehlte mir dann der Rechenweg.

Unangenehm finde ich jedoch kleinere Fehler, die Du beim Gebrauch von Latex machst. böse

Statt \nabla_{F(a,b,\gamma)} würde ich lieber schreiben \nabla {F(a,b,\gamma)} (also Leerzeichen statt Unterstrich).

Statt acos\gamma würde ich lieber schreiben a\cos\gamma (also Rückwärtsschrägstrich vor trigonometrischen Funktionen).

Sonst aber finde ich Deine Zusammenfassung, die eigentlich so geschrieben gehört, schon recht gut:





Zitat:
verbessertes Original von klauss




Dieser Rechenschritt erschließt sich mir nicht. "..." sollte man nur angeben, wenn klar ist, was die Punkte bedeuten sollen.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Das Latex-Feintuning ist schnell gemacht, ich habe es oben eingepflegt. Werde das künftig nutzen.

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau



Dieser Rechenschritt erschließt sich mir nicht.




Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Mir ist noch ein anderer und kurzer Beweis eingefallen. Nach der Heronischen Formel ist die Dreiecksfläche



Diese ist unter der Nebenbedingung zu maximieren.

Statt kann man auch maximieren, da das Quadrieren und das Logarithmieren streng monoton wachsende Funktionen sind. Man bekommt die Lagrangefunktion



Die partiellen Ableitungen nach ergeben:







Paarweiser Vergleich dieser Gleichungen ergibt schon . Die Bestimmung von kann man sich sparen.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Bin fast erschrocken, weil ich den Heron-Ansatz auch noch nachliefern wollte. Kann ich aber trotzdem, etwas anders. Danach gilt:



Nur den Ausdruck unter der Wurzel betrachte ich als zu maximierendes mit den partiellen Ableitungen







eingesetzt in :





Den Nachweis des hinreichenden Kriteriums für ein Maximum können wir uns in gegenseitigem Einvernehmen sparen.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Zitat:
Original von Huggy
Mir ist noch ein anderer und kurzer Beweis eingefallen. Nach der Heronischen Formel ist die Dreiecksfläche


Hallo Huggy,

Du solltest noch mal Deinen Wurzelterm überprüfen, da hast Du Dich vertippt. geschockt Sonst aber ist die Idee ganz gut, abgesehen davon, daß diese Formel in meiner alten Schul- Formelsammlung gar nicht drin steht. Gerechter Weise müßte man sie erst einmal herleiten. Das wäre dann aber vielleicht aufwändiger als die Rechnung von Klaus.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Gerechter Weise müßte man sie erst einmal herleiten.


Der Name sagt es ja schon: Formel von Heron. Das kann also nichts ganz Neues in der Mathematik sein.

Ich nehme die Bezeichnungen wie in einem rechtwinkligen Dreieck: für die Seiten, für die Höhe von und für die durch bestimmten Abschnitte von , wobei bei und bei anstoße. Ist stumpf, so ist negativ zu messen, ist stumpf, ist negativ zu messen, so daß auf jeden Fall gilt.



Durch Subtraktion der Gleichungen eliminiert man :



Jetzt hat man ein lineares Gleichungssystem in :





Man löst es und kann sowohl als auch allein durch ausdrücken. In der Flächenformel



geht man am besten zum Quadrat über und eliminiert mit Pythagoras I oder Pythagoras II, danach oder , und man hat allein durch die Seiten ausgedrückt. Der Rest ist Algebra, um die Formel auf eine angenehme Gestalt zu bringen. Wer dabei überlegt vorgeht, ist schneller am Ziel.

Die Quadratsummen, die während des Beweises auftreten, erinnern an den Cosinus-Satz, so daß man auch darüber einen Beweis versuchen könnte. Andere Beweise verwenden trickreich Ähnlichkeitsbeziehungen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
abgesehen davon, daß diese Formel in meiner alten Schul- Formelsammlung gar nicht drin steht. Gerechter Weise müßte man sie erst einmal herleiten.

Es erscheint mir zweifelhaft, deine alte Formelsammlung zum Maßstab dessen zu machen, was man erst herleiten muss.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Heron von Alexandria hat nach Archimedes aber vor Pappus gelebt, also 200 vor bis 300 nach Christus, nehmen wir den Mittelwert, dann lebte er im 1. Jahrhundert. Ganz neu sind seine Erkenntnisse also nicht mehr, aber auf jeden Fall interessant. Maßstab allen Wissens ist heutzutage Wikipedia, was man dort nicht findet, existiert nicht. Augenzwinkern

Denkfaul und technikgläubig wie ich bin, habe ich versucht, die Aufgabe als Optimierproblem zu lösen, aber LPSolve und Excel-Solver können nichtlineare Probleme weder formulieren noch lösen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Heron war auch mein erster Gedanke.

In meinem Taschenrechner steckt noch mein Programm, das zu 3 Punkten im Raum so gut wie alle Werte des Dreiecks berechnet.
Beim Flächeninhalt geht man da mit Heron auf Nummer sicher.
Andere Dinge wie z.B. der Höhenschnittpunkt sind da deutlich empfindlicher wenn man mit Fließkommazahlen operiert.
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