Spur von nilpotenten Matrizen

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Kuba1357 Auf diesen Beitrag antworten »
Spur von nilpotenten Matrizen
Meine Frage:
Hallo,
Die Aufgabe ist folgende:
Sei A, so dass
Zu zeigen ist dass A nilpotent ist.
Als Hinweis ist noch gegeben, dass man die Jordansche Normalform verwenden soll.
Was wir bereits gezeigt haben, ist, dass tr(A*B) = tr(B*A) und dass ähnliche Matrizen die gleiche Spur haben.

Meine Ideen:
Also meine Idee war folgende:
Sei J die Jordansche Normalform von A. Mit J = D + N (D Diagonalmatrix, N nilpotenter Teil)
Dann gilt tr (A) = tr (J)
Und

Dann dachte ich, könnte ich mithilfe des binomischen Lehrsatzes die Potenz berechnen

Da Potenzen von nilpotenten Matrizen wieder nilpotente Matrizen sind, also auf der Diagonale 0 steht, und uns ja nur die Diagonaleinträge interessieren, habe ich den nilpotenten Teil einfach gestrichen und bin somit auf das folgende gekommen:

Ab jetzt weiss ich nicht mehr wirklich weiter. Ich habe das ganze noch etwas umgeformt

Und mir dann überlegt, dass ich das Kronecker-delta auch einfach streichen kann, da D^r ja sowieso nur auf der Diagonalen Einträge ungleich 0 hat. Ich weiss also das folgendes gilt:

Und die Diagonaleinträge die folgende Form haben

Wenn die Summe all dieser Diagonaleinträge also immer 0 ist, muss daraus folgen dass D = 0 und J und somit auch A nilpotent sind.
Wie kann ich das zeigen? Oder habe ich irgendwo einen Überlegensfehler gemacht? Oder einfach einen irreführenden Weg?
Vielen Dank für eure Hilfe schonmal im Voraus!
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RE: Spur von nilpotenten Matrizen
D und N vertauschen nicht, also kannst du den binomischen Satz nicht anwenden. Ich würde mich auf ein Jordankästchen beschränken und unter Verwendung der speziellen Struktur von N zeigen, dass fast alle Summanden in (D+N)^k Spur null haben
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von nilpotenten Matrizen
Zitat:
Original von URL
D und N vertauschen nicht, also kannst du den binomischen Satz nicht anwenden.


Wenn ich mich nicht grob vertue, sollte für obere Dreiecksmatrizen aber



gelten. Denn und sind obere Dreiecksmatrizen, deren Diagonalelemente gerade die Produkte entsprechender Diagonalelemente von und sind. Induktiv folgt, daß jedes Produkt aus Faktoren und Faktoren , unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren, dieselben Diagonalelemente besitzt.
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von nilpotenten Matrizen
@leopold mir war gar nicht klar, dass der Spuroperator auf dem Raum der oberen dreiecksmatrizen voll kommutativ ist. Du hast Recht, so stimmt die Gleichung.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von nilpotenten Matrizen
Zitat:
Original von URL
@leopold mir war gar nicht klar ...


Mir auch nicht. Zunächst dachte ich, daß der binomische Satz für die Spur bei beliebigen Matrizen gilt, wenn man die Spur unter die Summe zieht. Verantwortlich schien mir die Vertauschungsregel (ich schreibe für die Spur)



Ohne mich genauer in die Sache hineinzudenken, machte ich sicherheitshalber eine Proberechnung mit dem CAS. : Alles paßt. : Alles paßt. Jetzt unvollständige Induktion - und fertig. Ein letzter Versuch mit ... man weiß ja nie! Und - die Formel stimmt nicht! Hoppla. Erst dachte ich, daß ich bei meinem CAS irgendeinen Tippfehler in der Eingabe hätte. Aber alles Überprüfen ließ mich keinen Fehler finden. Dann erst begann ich mich genauer mit der Sache zu beschäftigen. Und da wurde mir auf einmal klar, warum die Formel ab falsch ist und woran ein Beweis mit der obigen Formel scheitert. Erst da habe ich mir überlegt, daß die Matrizen, die der Fragesteller in seiner Jordan-Form braucht, ja obere Dreiecksmatrizen sind und warum der Satz für solche richtig ist. Die obige Vertauschungsregel ist nicht der Grund dafür.
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