Beweis Fallunterscheidung p-Quantil / Gauss-Klammer

06.04.2020, 10:42	blackbow	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Fallunterscheidung p-Quantil / Gauss-Klammer Hallo zusammen Schönes Forum! Ich bin neu hier, da ich mich nach ein paar Jahre Pause wieder vermehrt mit Mathematik beschäftige. Ich habe vor ca. 3 Jahren ein Master als Ingenieur abgeschlossen und dann ein paar Jahre in der Privatwirtschaft gearbeitet. Mir fehlt aber die Wissenschaft und die Arbeit als Projektingenieur/PL bietet für mich keine langfristige Perspektive. Ich habe darum beschlossen an der Uni Hagen ein paar Mathe und Informatikvorlesungen zu besuchen. Mit den zusätzlichen ECTS wird mir nebenbei auch das Unterrichten am Gymnasium ermöglicht. Mein erster Kurs: Einführung in die Stochastik (10 ECTS). Nun merke ich bereits, dass es sich um eine andere Art von Mathematik als im Ingenieurstudium handelt. Es macht Spass aber ich muss mich noch etwas an die Beweisführungen und die Notation gewöhnen. Doch nun zur eigentlichen Frage. Ich soll den folgenden Satz 3.1.16 zum p-Quantil beweisen: [attach]50931[/attach] Ich habe auch die Lösung zur Aufgabe, werde aber noch nicht schlau daraus. Diese beginnt nämlich ohne genauerer Erläuterung mit den folgenden zwei Ungleichungen: $\begin{eqnarray} \sum_{x\geq x_{[i]}}r(x) = \frac{1}{n}\sum_{1\leq k\leq n:x_{[k]}\geq x_{[i]}}1\geq \frac{1}{n}\sum_{k=i}^n 1 = \frac{n-i+1}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{x\leq x_{[i]}}r(x) = \frac{1}{n}\sum_{1\leq k\leq n:x_{[k]}\leq x_{[i]}}1\geq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^i 1 = \frac{i}{n} \end{eqnarray}$ Mir ist jetzt nicht klar, wie ich auf diese beiden Ungleichungen kommen soll. Falls mir das jemand erklären könnte, dann kann ich vielleicht auch die nachfolgende weitere Beweisführung verstehen. Vielen Dank und eine sonnige Quarantäne! blackbow
06.04.2020, 12:41	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Fallunterscheidung p-Quantil / Gauss-Klammer Das $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ -Zeichen ergibt sich, weil in der Stichprobe auch sogenannte Bindungen vorhanden sein können, also mehrere gleiche Stichprobenwerte. Betrachten wir die obere Zeile. Die mittlere Summe läuft über Werte von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_{\lbrack k \rbrack} \geq x_{\lbrack i \rbrack} \end{eqnarray}$ . Da eine geordnete Stichprobe vorliegt, ist das auf jeden Fall für k $\begin{eqnarray} \geq i \end{eqnarray}$ der Fall. Dieser Teil der Summe ist gleich der rechten Summe. Nun könnte aber $\begin{eqnarray} x_{\lbrack i-1 \rbrack} = x_{\lbrack i \rbrack} \end{eqnarray}$ sein. Dann gehört auch $\begin{eqnarray} k=i-1 \end{eqnarray}$ noch zur mittleren Summe und diese ist dann größer als die rechte Summe. Die Begründung für $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ in der unteren Zeile ist ganz analog nur in der umgekehrten Richtung. Es könnte auch noch $\begin{eqnarray} k=i+1 \end{eqnarray}$ und eventuell weitere $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ zur mittleren Summe gehören.
09.04.2020, 16:39	blackbow	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Fallunterscheidung p-Quantil / Gauss-Klammer Hallo Huggy, vielen Dank für deine Antwort, das hat mir schon mal etwas geholfen. Allerdings ist mir noch immer nicht alles klar. Verstehe ich soweit mal richtig, dass die jeweilige Summe nach dem ersten Gleichheitszeichen 1-p bzw. p darstellen? Bedeutet dann die erste der beiden Ungleichungen anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray} 1-p \geq p \end{eqnarray}$ ? Viele Grüsse, blackbow
09.04.2020, 17:55	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Fallunterscheidung p-Quantil / Gauss-Klammer Wohl kaum. Meine Antwort bezog sich allein auf die $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ -Zeichen in den beiden Zeilen des Beweises, die du angegeben hast und nach denen du gefragt hast. Weitere Dinge müsste ich erraten, angefangen damit, wie $\begin{eqnarray} r(x) \end{eqnarray}$ definiert ist. Wenn dir weitere Teile des dir vorliegenden Beweises unklar sind, solltest du auch diese Teile hier einstellen mit den zum Verständnis notwendigen Definitionen und sagen, was dir an diesen Beweisteilen unklar ist.

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