Anfangswertbedingung einer DGL

06.04.2020, 19:19

Madovin

Anfangswertbedingung einer DGL

Meine Frage:
Hallo, ich soll für eine Übung die Spezielle Lösung der Differentialgleichung:
y''' + 5y'' + 8y' + 4y = 0; x,y im Bereich der reellen Zahlen angeben, die die Anfangswertbedingungen von f(0)=1,
f'(0)=1 und f''(0)=1 erfüllt.
Leider verstehe ich den Ablauf der Anfangswertsbedingung nicht ganz.
Das Fundamentalsystem habe ich gebildet $\begin{eqnarray*} a*e^{-x}+b*e^{-2x}+c*e^{-2x} \end{eqnarray*}$
Die Ableitungen die ich ausgerechnet habe: $\begin{eqnarray*} f'(x)=-a*e^{-x}-2*b*e^{-2x}-2*c*e^{-2x} f''(x)=a*e^{-x}+4*b*e^{-2x}+4*c*e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun 0 in die Funktionen und ihre Ableitungen Einsetze erhalte ich:
f(0)=a+b+c=1
f'(0)=-a-2b-2c=1
f''(0)=a+4b+4c=1

Doch ab nun weiß ich leider nicht weiter und würde mich über jegliche Hilfe seien es Lösungen oder Ideen freuen. Vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Wie im Laufe der Frage beschrieben sind oben meine eigenen Ansätze smile

Darstellungsfehler korrigiert.
klauss

06.04.2020, 22:42

klauss

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RE: Anfangswertbedingung einer DGL

Zitat:

Original von Madovin
Das Fundamentalsystem habe ich gebildet $\begin{eqnarray*} a*e^{-x}+b*e^{-2x}+c*e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Das stimmt schon mal nicht, denn da $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, lautet eine Lösungsfunktion $\begin{eqnarray*} xe^{-2x} \end{eqnarray*}$ .

Bei Deiner Version könnte man ja sonst $\begin{eqnarray*} b\cdot e^{-2x}+ c\cdot e^{-2x}= (b+c)e^{-2x} =d\cdot e^{-2x}; d\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu einer Lösung zusammenfassen.

Es bleibt Dir nichts anderes übrig, als die Ableitungen mit dem korrigierten Fundamentalsystem nochmal zu berechnen.

06.04.2020, 23:35

Mattamon

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RE: Anfangswertbedingung einer DGL
Erst einmal vielen Dank, ich habe den Fehler übersehen und habe mich zu sehr an der vorangegangenen Aufgabenstellung aufgehangen dass ich die allgemeine Lösung und das Fundamentalsystem in Abhängigkeit von a,b und c bestimmen soll....dabei natürlich das x vergessen.

Habe es jetzt ausgebessert
$\begin{eqnarray*} a*e^{-x}+b*x*e^{-2x}+c*e^{-2x} \end{eqnarray*}$
Stimmt dass so oder habe ich es wieder falsch gemacht?

Mfg.

07.04.2020, 00:03

klauss

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RE: Anfangswertbedingung einer DGL
Paßt so. Jetzt brauchst Du eben wieder $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ und kannst dann ein neues Gleichungssystem aufstellen.

07.04.2020, 00:37

Mattamon

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RE: Anfangswertbedingung einer DGL
Alles klar dass hat mir schon einmal geholfen, die Ableitungen habe ich bestimmt und habe:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-a*e^{-x}-2*b*x*e^{-2x}-2*c*e^{-2x} f''(x)=a*e^{-x}+4*b*x*e^{-2x}+4*c*e^{-2x} f(0)= a*e^{-x}+b*x*e^{-2x}+c*e^{-2x}= a+c=1 f'(0)=-a*e^{0}-2*b*0*e^{-2*0}-2*c*e^{-2*0} = -a-2c=1 f''(0)=a*e^{0}+4*b*0*e^{-2*0}+4*c*e^{-2*0} = a+4c=1 \end{eqnarray*}$
Ist dass so richtig? und Falls ja wie sieht der nächste Schritt aus?

07.04.2020, 00:54

klauss

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RE: Anfangswertbedingung einer DGL
Die Produktregel zur Ableitung von $\begin{eqnarray*} xe^{-2x} \end{eqnarray*}$ sollte bekannt sein ...

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