Integral bestimmen

07.04.2020, 10:41

michael162

Auf diesen Beitrag antworten »

Integral bestimmen

Hallo!

Wink

Als Foto habe ich folgende Funktion angehängt, die ich gerne integrieren möchte, leider mache ich einen Fehler. Die Funktion lautet $\begin{eqnarray*} f(x)=(\sin(x))^2+(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$ da diese Beziehung gleich 1 ist, muss das Integral x+C lauten, tut es aber leider nicht. Die Zeile wo der Fehler sein muss habe ich gekennzeichnet.

Um eine Verbesserung wäre ich sehr dankbar!

07.04.2020, 11:44

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral bestimmen
Hm, ich weiß jetzt nicht, ob diese Rechnung überhaupt zu etwas führen kann. Wie dem auch sei, in jedem Fall ist:

$\begin{eqnarray*} \int -sin(x) \cdot sin(x) ~dx = cos(x) \cdot sin(x) - \int cos(x) \cdot cos(x) ~dx \end{eqnarray*}$

Irgendwie hast du es da mit den Vorzeichen übertrieben.

07.04.2020, 12:04

Nils Hoppenstedt

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral bestimmen
Außerdem hast du einmal im Kreis gerechnet, da nach dem 4. Gleichheitszeichen wieder dein Ausdruck vom Anfang da steht.

07.04.2020, 12:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral bestimmen
Das kann eben bei einer partiellen Integration passieren. Insofern habe ich ja auch die Sinnhaftigkeit dieses Rechenwegs hinterfragen wollen.

07.04.2020, 13:13

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral bestimmen
Man sollte vor dem Integrieren umformen:

$\begin{eqnarray*} \sin^2 x=\frac 1 2 (1-\cos 2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos^2 x =\frac 1 2(1+\cos 2x) \end{eqnarray*}$

07.04.2020, 13:24

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral bestimmen
Nun ja, die Sinnhaftigkeit der ganzen Rechnung wird damit auch nicht wesentlich verbessert. geschockt

geschockt

Anzeige

07.04.2020, 13:25

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral bestimmen
Dem stimme ich ohne Einschränkung zu.

07.04.2020, 13:40

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral bestimmen
Vielleicht mit Additionstheorem?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! sin(x)sin(x) \, dx+\int_{}^{} \! cos(x)cos(x) \, dx =\int_{}^{} \! cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x) \, dx=\int_{}^{} \! cos(x-x) \, dx=\int_{}^{} \! cos(0) \, dx=\int_{}^{} \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

07.04.2020, 13:51

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Für $\begin{align*} a \in \mathbb{R} \end{align*}$ erfüllen ja auch die Funktionen $\begin{align*} S_a \end{align*}$ und $\begin{align*} C_a \end{align*}$ mit $\begin{align*} S_a(x) = a \sin(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} C_a(x) = a \cos(x) \end{align*}$ das Differentialgleichungssystem

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ S_a' = C_a \, , \ \ C_a' = - S_a \end{align*}$

Wie wir im vorhinein wissen, gilt modulo einer additiven Konstanten

$\begin{align*} \int \left( {S_a}^2(x) + {C_a}^2(x) \right) ~ \dd x \ = \ a^2 x \end{align*}$

Eine Umformung, die nur $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ , Regeln der Algebra und Integrationstechniken verwendet, dürfte daher nicht zum gewünschten Ergebnis $\begin{align*} x \end{align*}$ führen. Man wird weitere Funktionalgleichungen für Sinus und Cosinus bemühen müssen, wie Huggy oder klauss das tun. Da bei deren Herleitung aber oft schon der trigonometrische Pythagoras oder schärfere Aussagen wie Additionstheoreme verwendet werden, macht das das ganze Unternehmen in höchstem Maß fragwürdig.

Nette Idee, aber leider nicht umsetzbar.

07.04.2020, 13:55

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral bestimmen
Egal, wie man vor dem Integrieren umformt, diese Umformungen beruhen alle darauf, dass der Sinus und Cosinus so definiert sind, dass $\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x =1 \end{eqnarray*}$ gilt*. Also kann man auch gleich von dieser Beziehung Gebrauch machen. Mit meiner Umformung wollte ich nur zeigen, wie man die Einzelintegrale

$\begin{eqnarray*} \int \sin^2 x \, dx \text{ und } \int \cos^2 x \, dx \end{eqnarray*}$

knacken kann.

Edit: * siehe auch Leopold

07.04.2020, 14:13

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die schwächere Aussage $\begin{align*} \sin^2(x) + \cos^2(x) = c \end{align*}$ (konstant) herleiten, indem man

$\begin{align*} \int 2 \sin(x) \cos(x) ~ \dd x \end{align*}$

berechnet. Je nachdem, wie man substituiert, erhält man modulo einer additiven Konstanten einmal $\begin{align*} \sin^2(x) \end{align*}$ , das andere Mal $\begin{align*} - \cos^2(x) \end{align*}$ als Ergebnis. Daher muß die Differenz $\begin{align*} \sin^2(x) - \left( - \cos^2(x) \right) \end{align*}$ der Funktionen konstant sein. Aber weiter kommt man auch hier nicht ohne spezielle Werte der beiden Funktionen zu kennen, zum Beispiel $\begin{align*} \sin(0) = 0 \, , \ \cos(0) = 1 \end{align*}$ .

07.04.2020, 14:13

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder käme
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! sinx^{2}(x)+cos^{2}(x) \, dx =\int_{}^{} \! \frac{\left(e^{ix}-e^{-ix} \right)^{2} }{-4}+\frac{\left(e^{ix}+e^{-ix} \right)^{2} }{4} \, dx \end{eqnarray*}$
der Forderung

Zitat:

Original von Leopold
Eine Umformung, die nur ... Regeln der Algebra und Integrationstechniken verwendet,

etwas näher?

07.04.2020, 14:19

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht geht ja auch etwas mit dem Satz von Stokes, dem Theorem von Löwenheim-Skolem oder dem Jordan-Brouwerschen Separationssatz.

08.04.2020, 19:09

michael162

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die zahlreichen Antworten! Freude

Freude

Ok also den ursprünglichen Ausdruck umzuformen scheint mir viel einfacher als an dem ursprünglichen Term festzuhalten.

Der ursprüngliche Gedanke war ja, zweimal partiell integrieren, damit sich das Vorzeichen dreht und sich die Integrale rauskürzen.

08.04.2020, 19:12

Nils Hoppenstedt

Auf diesen Beitrag antworten »

Verrätst du uns bitte noch, was der eigentliche Sinn deiner Rechnung war?

04.02.2024, 13:56

michael162

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nils Hoppenstedt
Verrätst du uns bitte noch, was der eigentliche Sinn deiner Rechnung war?

Ja gerne, es war einfach ein Gedankenspiel zum besseren Verständnis. Freude

Freude

05.02.2024, 15:25

Nils Hoppenstedt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von michael162
Ja gerne, es war einfach ein Gedankenspiel zum besseren Verständnis. Freude

Freude

Wow! Das nenne ich mal eine Quick-Response! Kaum war die Frage gestellt - Zack - kommt die Antwort.

Liebe Grüße,
Nils

05.02.2024, 18:01

michael162

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nils Hoppenstedt

Zitat:

Original von michael162
Ja gerne, es war einfach ein Gedankenspiel zum besseren Verständnis. Freude

Freude

Wow! Das nenne ich mal eine Quick-Response! Kaum war die Frage gestellt - Zack - kommt die Antwort.

Liebe Grüße,
Nils

In Österreich ist das Internet so schlecht, da kann schon mal der Ping etwas höher sein. Hammer

Hammer

05.02.2024, 22:26

Nils Hoppenstedt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

In Österreich ist das Internet so schlecht, da kann schon mal der Ping etwas höher sein. Hammer

Hammer

Kein Problem, ich freue mich über jede Antwort, egal wann sie kommt. Aber ehrlicherweise muss ich gestehen, dass mein Interesse an dem Thema nach fast 4 Jahren etwas gelitten hat. smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »