Lineare DGL Ch.Polynom mit doppelter Nullstelle

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Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare DGL Ch.Polynom mit doppelter Nullstelle
Angenommen, wir haben die Lineare Differentialgleichung:



Der Ansatz führt zur Charakteristischen Gleichung , die eine doppelte Nullstelle bei hat. Seltsamer Weise ist dann jedoch

eine allgemeine Lösung.

Zur Frage: Wenn man nun eine DGL konstruiert, deren Charakteristische Gleichung zwei dicht benachbarte Nullstellen hätte, die sich um unterscheiden, dann könnte man doch für verlangen, daß die eine Lösung in die andere übergeht. Könnte mir vielleicht einer hier vorrechnen, wie das geht?

Ich probiere es zunächst einmal selbst:

Sei





das bedeutet:



ist die Dgl die wir mit (1) vergleichen wollen. Sie hat die allgemeine Lösung



Daß für die Lösung (2a) in Lösung (1a) übergeht, sehe ich hier nicht. Wie rechnet man das richtig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare DGL Ch.Polynom mit doppelter Nullstelle
Wenn klein ist, hat man



Man hat dann als Lösung



was mit der Lösung für gleiche Nullstellen übereinstimmt. Je kleiner ist, desto größer ist der Bereich von , in dem die Lösungen näherungsweise gleich sind.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare DGL Ch.Polynom mit doppelter Nullstelle
Danke Huggy! Warum bin ich da bloß nicht selbst drauf gekommen? Schläfer

Also und

Aber das bedeutet, daß wenn Gleichung (1) eine Randbedingung erfüllen muß, die erzwingt, man sie mit Gleichung (2) nicht approximieren kann. Wie darf man sich denn dann den Übergang vorstellen?
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare DGL Ch.Polynom mit doppelter Nullstelle
Ah, jetzt bin ich selbst drauf gekommen. und schon ist . smile

[attach]50937[/attach] Gut zu erkennen ist hier die Ähnlichkeit der Kurven und .
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