Quadrat- und Kreisumfang

08.04.2020, 12:43

Dopap

Quadrat- und Kreisumfang

skizziert sollen ein Quadrat und ein Kreis folgende Lage haben:
[attach]50940[/attach]

wie konstruiert man das und welche Figur hat den größeren Umfang?

Die Konstruktion erfordert mMn direkt oder indirekt ein rechtwinkliges Dreieck mit einem
Katheten-Verhältnis von $\begin{eqnarray*} 2 : 1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

08.04.2020, 12:53

Steffen Bühler

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RE: Quadrat- und Kreisumfang
Dein Kreis ist der Umkreis des Dreiecks, das durch die drei Berührpunkte gegeben ist.

Viele Grüße
Steffen

08.04.2020, 13:07

klauss

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RE: Quadrat- und Kreisumfang
Das Quadrat hat bei mir vorläufig den größeren Umfang, aber nur ein ganz kleines bißchen größer. Mal sehen, was sonst noch kommt, bevor ich Rechnung und Bild liefere.

08.04.2020, 13:37

Luftikus

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Bei mir hat das Quadrat die Seitenlänge
$\begin{eqnarray*} \frac{8}{5} \; r \end{eqnarray*}$

08.04.2020, 14:34

Ulrich Ruhnau

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RE: Quadrat- und Kreisumfang

Zitat:

Original von Dopap
wie konstruiert man das und welche Figur hat den größeren Umfang?

Zur Konstruktion gehe ich von einem Quadrat ABCD der Kantenlänge a aus und finde die Mittelsenkrechte der Quadratseite CD. Vom so gefundenen Punkt E finde ich die Mittelsenkrechte zum Punkt B. Beide Mittelsenkrechten schneiden sich im Kreismittelpunkt M. Der Pythagoras zum kleinen rechten unteren Dreieck liefert: $\begin{eqnarray*} r^2=(a-r)^2+\frac{a^2}4 \end{eqnarray*}$ . Diese Gleichung führt direkt auf $\begin{eqnarray*} r=\frac 58 a \end{eqnarray*}$ , sodaß $\begin{eqnarray*} U_\Box=4a, \qquad U_\bigcirc=2\pi r=\frac{5\pi}4 a \end{eqnarray*}$ . Das heißt, der Umfang vom Quadrat ist größer als der vom Kreis. Augenzwinkern

[attach]50941[/attach]

08.04.2020, 15:51

Antezedenz

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RE: Quadrat- und Kreisumfang
Zugegeben, ich war faul und habe mir die Konstruktion gespart und die Aufgabe „nicht-elementar“ mit Trigo gelöst, mit etwas Hilfe durch den Kreiswinkelsatz Augenzwinkern

Selbes Ergebnis wie bei Ulrich Ruhnau.

08.04.2020, 18:36

Dopap

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das ist verständlich vorgetragen. Es gibt bestimmt noch jede Menge anderer Konstruktionen.

Rückwärts vom Radius her kommend erkennt man auch die Konstruktion von 2 Katheten mit
1 : 2 bei vorgegebener Hypotenuse.

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