Größtfehler Dichte

09.04.2020, 13:26

241dfg

Größtfehler Dichte

Meine Frage:
Zur Bestimmung der Dichte ? eines zylindrischen Körpers wurden gemessen die
Masse m = (120 ± 5)g, die Höhe h = (50 ± 1)mm und der Durchmesser d = (41 ±
0,2)mm. Bestimmen Sie den absoluten Größtfehler für die Dichte.

Meine Ideen:
Ich hab Probleme mit dem bestimmen des totalen differtials

09.04.2020, 14:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von 241dfg
Ich hab Probleme mit dem bestimmen des totalen differtials

Aber die zugrundeliegende funktionale Abhängigkeit der Dichte $\begin{eqnarray*} \rho=f(m,h,d) \end{eqnarray*}$ von den drei gegebenen Größen $\begin{eqnarray*} m,h,d \end{eqnarray*}$ aufstellen kriegst du doch noch hin?

Fang doch erstmal damit an, bevor wir uns dann anschließend um das totale Differential

$\begin{eqnarray*} \dd f = \frac{\partial f}{\partial m} \dd m + \frac{\partial f}{\partial h} \dd h + \frac{\partial f}{\partial d} \dd d \end{eqnarray*}$

kümmern.

09.04.2020, 14:42

Leopold

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[Off-topic]

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \dd f = \frac{\partial f}{\partial m} \dd m + \frac{\partial f}{\partial h} \dd h + \frac{\partial f}{\color{blue} \partial \color{red} d} \color{green} \dd \color{red} d \end{eqnarray*}$

Sieht lustig aus. Und da soll nochmal einer sagen, die Mathematiker seien nicht kreativ: gerade, schräg, kursiv, leicht gebogen, krumm, verzogen, mit oder ohne Häkchen - alles ist drin in d! Sexy-Mini-Super-Flower-Pop-op-Cola - Alles ist in Afri Cola!

[/Off-topic]

09.04.2020, 15:18

Ulrich Ruhnau

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RE: Größtfehler Dichte

Zitat:

Original von 241dfg
Meine Frage:
... die Masse m = (120 ± 5)g, die Höhe h = (50 ± 1)mm und der Durchmesser d = (41 ±
0,2)mm. Bestimmen Sie den absoluten Größtfehler für die Dichte.

Wozu brauchten wir ein totales Differential? Es reicht doch, im einen Fall eine hohe Masse bei niedrigem Volumen anzunehmen und im anderen Fall von einer möglichst kleinen Masse bei einem maximalen Volumen auszugehen, um die absoluten Grenzen für die Dichte des Körpers auszuloten.

10.04.2020, 01:11

Ehos

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Die Dichte eines Zylinders ist eine gewisse Formel:

$\begin{eqnarray*} \rho=\rho(m,h,d) \end{eqnarray*}$

Die Größen m, h, d sind fehlerbehaftet. Man muss also ersetzen wie folgt

$\begin{eqnarray*} m\rightarrow m+\Delta m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h\rightarrow h+\Delta h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d\rightarrow d+\Delta d \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die obere Formel liefert

$\begin{eqnarray*} \rho=\rho(m+\Delta m,h+\Delta h,d+\Delta d) \end{eqnarray*}$

Dies kann man in einer Taylorreihe entwickeln. Weil die Fehler $\begin{eqnarray*} \Delta m, \Delta h, \Delta d \end{eqnarray*}$ in der Regel "klein" sind, kann man diese Taylorentwicklung nach dem linearen Summanden abbrechen und erhält

$\begin{eqnarray*} \rho(m+\Delta m, h+ \Delta h,d+\Delta d) \approx \rho(m,h,d)+\underbrace{\tfrac{\partial \rho}{\partial m}\Delta m+\tfrac{\partial \rho}{\partial h}\Delta m+\tfrac{\partial \rho}{\partial d}\Delta d}_{\text{lineare Summanden}}+... \end{eqnarray*}$

Indem wir auf beiden Seiten den Term $\begin{eqnarray*} \rho=\rho(m,h,d) \end{eqnarray*}$ subtrahieren, erhalten wir näherungsweise den gesuchten absoluten Fehler der Dichte

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\rho(m+\Delta m, h+ \Delta h,d+\Delta d)-\rho(m,h,d)}_{\text{absoluter Fehler der Dichte }\Delta \rho} \approx \tfrac{\partial \rho}{\partial m}\Delta m+\tfrac{\partial \rho}{\partial h}\Delta h+\tfrac{\partial \rho}{\partial d}\Delta d \end{eqnarray*}$ _______________________Formel (*)

Bekanntlich berechnet man die Dichte eines Zylinders mit der Formel

$\begin{eqnarray*} \rho(m,h,d)=\tfrac{4m}{d^2\pi h} \end{eqnarray*}$

Durch Differenzieren dieser Formel berechnen wir daraus die in Formel (*) benötigten drei Ableitungen

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \rho}{\partial m}=\tfrac{4}{d^2\pi h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \rho}{\partial h}=-\tfrac{4m}{d^2\pi h^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \rho}{\partial d}=-\tfrac{8m}{d^3\pi h} \end{eqnarray*}$

Setzt man dies in Formel (*) ein, ergibt sich die Formel für den maximalen absoluten Fehler der Dichte

$\begin{eqnarray*} \Delta \rho \approx \tfrac{4}{d^2\pi h}\Delta m-\tfrac{4m}{d^2\pi h^2}\Delta h-\tfrac{8m}{d^3\pi h}\Delta d \end{eqnarray*}$

In diese Formel musst du die gegebenen 6 Zahlenwerte einsetzen

$\begin{eqnarray*} m=120g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta m \pm 5g \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h=50mm \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta h \pm 1mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d=41mm \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta d \pm 0,2mm \end{eqnarray*}$

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