Alternative Darstellung des Differentialquotienten

09.04.2020, 14:12

Naim

Alternative Darstellung des Differentialquotienten

Meine Frage:
Hallo, Freunde der Alternativen!
Ich brauche für einen Beweis, einen Beweis, dass folgender Term gleich der Ableitung ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h} = f'(x_0) \end{eqnarray*}$
Ich denke mal, dass das so geht, weil es egal ist, ob ich mich, geometrisch gesprochen, von links oder von rechts nähere.
Könnt ihr das bestätigen?

Meine Ideen:
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09.04.2020, 14:56

Leopold

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Eigentlich wird nur $\begin{align*} h \end{align*}$ durch $\begin{align*} -h \end{align*}$ substituiert. Da sich der Grenzübergang normalerweise sowieso über alle $\begin{align*} h \end{align*}$ in einer Umgebung von 0, positive wie negative, erstreckt, spielt das beim Limes dann keine Rolle mehr, beim Term selber natürlich schon.

$\begin{align*} \frac{f \left( x_0 - h \right) - f \left( x_0 \right)}{-h} \end{align*}$

Dann noch den Bruch mit -1 erweitern.

Man könnte auch $\begin{align*} h \end{align*}$ durch $\begin{align*} h^5 \end{align*}$ substituieren:

$\begin{align*} \frac{f \left( x_0 + h^5 \right) - f \left( x_0 \right)}{h^5} \end{align*}$

Beim Limes ist das auch wieder egal. Oder wie wäre es mit $\begin{align*} \sin(h) \end{align*}$ statt $\begin{align*} h \end{align*}$ ? Nicht richtig wäre dagegen, $\begin{align*} h \end{align*}$ durch $\begin{align*} h^2 \end{align*}$ oder $\begin{align*} \cos(h) \end{align*}$ zu ersetzen, jedenfalls dann nicht, wenn man nicht nur rechtsseitige Differenzierbarkeit untersucht. Und $\begin{align*} \cos(h) \end{align*}$ würde ja sowieso gar nicht gehen.

09.04.2020, 16:34

Ulrich Ruhnau

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RE: Alternative Darstellung des Differentialquotienten

Zitat:

Original von Naim
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h} = f'(x_0) \end{eqnarray*}$

Ich gehe mal von der Definition aus

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Zunächst substituiere ich $\begin{eqnarray*} \Delta x \rightarrow h \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Dann substituiere ich nur auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} x \rightarrow x-h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h} \end{eqnarray*}$

09.04.2020, 17:36

Elvis

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In der Definition der Ableitung steht $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Wie passt das mit deinen Substitutionen zusammen ?
Wie begründest du im letzten Schritt, dass $\begin{eqnarray*} h=\Delta x \end{eqnarray*}$ bei der Substitution $\begin{eqnarray*} x\rightarrow x-h \end{eqnarray*}$ unverändert bleibt ?

09.04.2020, 18:12

Leopold

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@ Ulrich Ruhnau

Beim Differenzenquotienten ist, was den Grenzübergang angeht, $\begin{align*} h \end{align*}$ (oder auch $\begin{align*} \Delta x \end{align*}$ , das ist nur eine Umbenennung von $\begin{align*} h \end{align*}$ ) die Variable, $\begin{align*} x \end{align*}$ (auch gerne $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ geheißen) fungiert als Parameter. Es ist daher relativ zu $\begin{align*} h \end{align*}$ als konstant zu betrachten, was ja auch die angehängte 0 suggestiv unterstreichen soll, warum auch immer. Bleiben wir bei $\begin{align*} x \end{align*}$ . Man darf, mit einigen Vorsichtsmaßnahmen, die Variable $\begin{align*} h \end{align*}$ durch einen Ausdruck $\begin{align*} h = \varphi(t) \end{align*}$ substituieren. Es ist aber selbstredend nicht gestattet, den Parameter $\begin{align*} x \end{align*}$ durch eine Funktion von $\begin{align*} h \end{align*}$ zu substituieren. Das ist grober Unfug.

Machen wir es konkret: $\begin{align*} f = \text{Quadratfunktion} \end{align*}$ . Wir wollen $\begin{align*} f'(3) \end{align*}$ berechnen. Dazu setzen wir den Differenzenquotienten an:

$\begin{align*} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} \end{align*}$

Und jetzt willst du hier 3 (in Worten: die Zahl "drei") substituieren? $\begin{align*} 3 \end{align*}$ ist aber $\begin{align*} 3 \end{align*}$ oder von mir aus auch $\begin{align*} \sqrt{9} \end{align*}$ oder $\begin{align*} \frac{15}{5} \end{align*}$ oder gar $\begin{align*} \int \limits_0^{\sqrt[7]{21}} \xi^6 ~ \dd \xi \end{align*}$ , wenn es sein muß. Aber $\begin{align*} 3 \end{align*}$ ist niemals $\begin{align*} 3-h \end{align*}$ . Da kann ja auch jemand kommen und sagen:

$\begin{align*} \frac{1 \color{red} 6}{\color{red} 6 \color{black} 4} = \frac{1}{4} \end{align*}$ durch Kürzen der 6.
Ergebnis stimmt, also stimmt auch das Verfahren.

09.04.2020, 18:23

Elvis

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Danke. Ich hatte lediglich den Verdacht, dass da etwas nicht stimmt, aber in Analysis kann man mir immer ein x für ein u vormachen. Deshalb bohre ich gerne so lange nach, bis ich eine plausible Erklärung gefunden oder bekommen habe.

09.04.2020, 18:58

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Elvis
In der Definition der Ableitung steht $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Wie passt das mit deinen Substitutionen zusammen ?

Um eine Ableitung zu definieren, braucht man doch kein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wie begründest du im letzten Schritt, dass $\begin{eqnarray*} h=\Delta x \end{eqnarray*}$ bei der Substitution $\begin{eqnarray*} x\rightarrow x-h \end{eqnarray*}$ unverändert bleibt ?

Die Rechenregeln für die Limesbildung sehen vor, daß $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gegen null geht. Deshalb bleibt $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ nicht unverändert.

09.04.2020, 19:36

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Leopold
@ Ulrich Ruhnau

Beim Differenzenquotienten ist, was den Grenzübergang angeht, $\begin{align*} h \end{align*}$ (oder auch $\begin{align*} \Delta x \end{align*}$ , das ist nur eine Umbenennung von $\begin{align*} h \end{align*}$ ) die Variable, $\begin{align*} x \end{align*}$ (auch gerne $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ geheißen) fungiert als Parameter. Sie ist daher relativ zu $\begin{align*} h \end{align*}$ als konstant zu betrachten, was ja auch die angehängte 0 suggestiv unterstreichen soll, warum auch immer. Bleiben wir bei $\begin{align*} x \end{align*}$ . Man darf, mit einigen Vorsichtsmaßnahmen, die Variable $\begin{align*} h \end{align*}$ durch einen Ausdruck $\begin{align*} h = \varphi(t) \end{align*}$ substituieren.

Bis hier hin will ich noch nicht protestieren.

Zitat:

Es ist aber selbstredend nicht gestattet, den Parameter $\begin{align*} x \end{align*}$ durch eine Funktion von $\begin{align*} h \end{align*}$ zu substituieren. Das ist grober Unfug.

Machen wir es konkret: $\begin{align*} f = \text{Quadratfunktion} \end{align*}$ . Wir wollen $\begin{align*} f'(3) \end{align*}$ berechnen. Dazu setzen wir den Differenzenquotienten an:

$\begin{align*} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} \end{align*}$

Und jetzt willst du hier 3 (in Worten: die Zahl "drei") substituieren? $\begin{align*} 3 \end{align*}$ ist aber $\begin{align*} 3 \end{align*}$ oder von mir aus auch $\begin{align*} \sqrt{9} \end{align*}$ oder $\begin{align*} \frac{15}{5} \end{align*}$ oder gar $\begin{align*} \int \limits_0^{\sqrt[7]{21}} \xi^6 ~ \dd \xi \end{align*}$ , wenn es sein muß. Aber $\begin{align*} 3 \end{align*}$ ist niemals $\begin{align*} 3-h \end{align*}$ .

Hier kommt immer noch etwas richtiges heraus. Also besteht kein Grund zum Protest. Und weil h gegen null geht, wird $\begin{eqnarray*} x-h \end{eqnarray*}$ wieder zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Wenn f(x) im Gebiet $\begin{eqnarray*} (x-\epsilon,x+\epsilon) \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar ist, dann gilt

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} =\lim_{h \to 0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h} \end{eqnarray*}$

Problematisch wäre es, wenn es links und rechts von x unterschiedliche Funktionsvorschriften für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ gäbe. Dann wäre die Ableitung u.U. unstetig. und der Limes nicht mehr eindeutig.

Zitat:

Da kann ja auch jemand kommen und sagen:

$\begin{align*} \frac{1 \color{red} 6}{\color{red} 6 \color{black} 4} = \frac{1}{4} \end{align*}$ durch Kürzen der 6.
Ergebnis stimmt, also stimmt auch das Verfahren.

Hier übertreibst Du, und unterstellst mir Dinge, die ich nie vertreten habe. unglücklich

10.04.2020, 17:07

Leopold

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"Ich habe 16/64 umgeformt."
"So, und was hast du heraus?"
"1/4."
"Schön. Richtig. Und wie kommst du darauf?"
"Ich habe einfach die 6 gekürzt."

"Ich habe den Differenzenquotienten umgeformt."
"So, und was hast du heraus?"
"Genau das, was der Naim gesagt hat."
"Schön. Richtig. Und wie kommst du darauf?"
"Ich habe einfach x durch x-h substituiert."

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