Mehrdimensionale partielle Integration am Beispiel eines Variationsproblems

09.04.2020, 15:06

SSil

Mehrdimensionale partielle Integration am Beispiel eines Variationsproblems

Hallo liebe Forenteilnehmer,

ich möchte die Poissongleichung numerisch lösen. Dazu möchte ich die partielle Differentialgleichung durch Multiplikation mit der Testfunktion $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , Integration der entstehenden Formel über das Gebiet $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ und anschließender mehrdimensionaler Integration in ein Variationsproblem überführen.

Nach Multiplikation der Poissongleichung mit der Testfunktion $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} -\int_{\Omega}^{} (\Delta u)v\;dV = \int_{\Omega}^{}fv\;dV \end{eqnarray*}$ (1)

Soweit habe ich das Vorgehen aus einem Skript übernommen. Nun soll man durch mehrdimensionale partielle Integration der linken Seite der Formel (1) folgende Formel erhalten:
$\begin{eqnarray*} -\int_{\Omega}^{} (\Delta u)v\;dV = \int_{\Omega}^{} \bigtriangledown u \bigtriangledown v\;dV - \int_{\partial \Omega}^{} \frac{\partial u}{\partial n}v\;ds, \end{eqnarray*}$ (2)
wobei $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial n} \end{eqnarray*}$ die Ableitung von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ nach dem nach außen gerichteten Normalenvektors $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bezüglich des Rands ist (Hier bin ich mir bei der Beschreibung von $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial n} \end{eqnarray*}$ nicht sicher, da ich das Skript frei aus dem Englischen übersetzt habe und als Ingenieursstudent in der mathematischen Ausdrucksweise nicht wirklich sattelfest bin).

Ich tue mir schwer diesen Schritt nach zu vollziehen. Da ich ihn aber später wiederholt anwenden möchte, möchte ich ihn verstehen. In einem anderen Forenbeitrag (Titel: "partielle Integration bei Schwacher Ableitung ? (Sobolev-Räume)" [ich musste die Url entfernen, da ich noch nicht genügend Posts habe, um Links einzubinden]) habe ich herausgefunden, dass dazu der Satz von Gauß verwendet wird.

Zitat:

Original von IfindU
Mit partieller Integration bei mehrdimensionalen Integralen meint man den Satz von Gauß (musste den Wiki-Link entfernen, s.o.)

Ich passe die Formal aus Wikipedia

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega \varphi\, \operatorname{div}\, \vec v \; \mathrm d V = \int_{\partial \Omega} \varphi\, \vec v \cdot \mathrm d \vec S - \int_\Omega \vec v\cdot \operatorname{grad}\, \varphi \; \mathrm dV \end{eqnarray*}$ (3.1)

durch $\begin{eqnarray*} \varphi := v \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec v:=\bigtriangledown u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \vec S = ds \end{eqnarray*}$ auf die Notation meines Beispiels an und vertausche gegebenfalls die Reihenfolge der "Produkte":

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega \, \operatorname{div}(\bigtriangledown u) v\, \; \mathrm d V = \int_{\partial \Omega} \bigtriangledown u\;v\, \mathrm ds - \int_\Omega \bigtriangledown u \bigtriangledown v \; \mathrm dV \end{eqnarray*}$ (3.2)

Frage 1: Ist das bis hierhin so richtig und zielführend?

Ich forme die linke Seite von Formel (1) zunächst um
$\begin{eqnarray*} -\int_{\Omega}^{} (\Delta u)v\;dV = -\int_{\Omega}^{} (\bigtriangledown \cdot (\bigtriangledown u))v\;dV = -\int_{\Omega}^{} div (\bigtriangledown u)v\;dV \end{eqnarray*}$ (1.1)

und wende dann den Gaußschen Integralsatz nach (3.2) darauf an:
$\begin{eqnarray*} -\int_{\Omega}^{} div (\bigtriangledown u)v\;dV = \int_\Omega \bigtriangledown u \bigtriangledown v \; \mathrm dV - \int_{\partial \Omega} \bigtriangledown u\;v\, \mathrm ds \end{eqnarray*}$ (4)

Frage 2: Ist $\begin{eqnarray*} \bigtriangledown u = \frac{\partial u}{\partial n} \end{eqnarray*}$ ?

Falls ja, müsste meine Umformung und Anwendung des Gaußschen Integralsatzes funktioniert haben, aber ich bin mir nicht sicher, ob das alles mit den mathematischen Konvention(z.B. das Vertauschen der Reihenfolge der "Produkte", was nach meiner begrenzten Erinnerung an die Tensorrechnung nicht immer zulässig ist) im Einklang war.

Danke an alle, die sich die Zeit genommen haben, meinen Post bis hierhin zu lesen! Gott

09.04.2020, 21:41

IfindU

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RE: Mehrdimensionale partielle Integration am Beispiel eines Variationsproblems
Da ich so selten zitiert werde, muss ich gleich reinspringen.

In Wikipedia steht beim Randintegral $\begin{eqnarray*} \nabla u \cdot d S \end{eqnarray*}$ . Hier ist ein Skalarprodukt versteckt.

Wenn im Punkt $\begin{eqnarray*} x \in \partial \Omega \end{eqnarray*}$ die äußere Einheitsnormale $\begin{eqnarray*} n(x) \end{eqnarray*}$ ist, so ist $\begin{eqnarray*} dS = n dx \end{eqnarray*}$ , insb. $\begin{eqnarray*} \int_{\partial \Omega} \nabla u \cdot d S = \int_{\partial \Omega} \nabla u(x) \cdot n(x) dx \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \nabla u \cdot w = \partial_w u = \frac{ \partial u}{\partial w} \end{eqnarray*}$ , die Richtungsableitung von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ , beantwortet es vermutlich Frage 2. Frage 1 sei dadurch beantwortet, dass ich direkt zu Frage 2 sprang. Big Laugh

Solange $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ eine skalare Funktion ist, ist das mit den Produkten eher unproblematisch. Kritisch wird es wenn es eine vektorwertige Funktion ist und man dann eine vektorielle Gleichheit hat. Dann muss man auf so viele Indizes aufpassen, dass man wahnsinnig wird.

10.04.2020, 18:11

SSil

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Vielen Dank für deine Hilfe!

Das ist eigentlich ein gutes Thema, um meine mathematischen Kenntnisse nochmal auf zu frischen.

Ich arbeite einfach mal deine Angaben in die von mir aufgestellten Formeln ein:

Also korrigiere ich den rechten Term meiner bisherigen Formel

Zitat:

Original von SSil
$\begin{eqnarray*} -\int_{\Omega}^{} div (\bigtriangledown u)v\;dV = \int_\Omega \bigtriangledown u \bigtriangledown v \; \mathrm dV - \int_{\partial \Omega}\bigtriangledown u\;v\, \mathrm ds \end{eqnarray*}$ (4)

zu

$\begin{eqnarray*} -\int_{\Omega}^{} div (\bigtriangledown u)v\;dV = \int_\Omega \bigtriangledown u \bigtriangledown v \; \mathrm dV - \int_{\partial \Omega}v \bigtriangledown u\; \cdot \mathrm dS \end{eqnarray*}$ (4.1)

Und mit

Zitat:

Original von IfindU
Wenn im Punkt $\begin{eqnarray*} x \in \partial \Omega \end{eqnarray*}$ die äußere Einheitsnormale $\begin{eqnarray*} n(x) \end{eqnarray*}$ ist, so ist $\begin{eqnarray*} dS = n dx \end{eqnarray*}$ , insb. $\begin{eqnarray*} \int_{\partial \Omega} \nabla u \cdot d S = \int_{\partial \Omega} \nabla u(x) \cdot n(x) dx \end{eqnarray*}$ .

stelle ich zu

$\begin{eqnarray*} -\int_{\Omega}^{} div (\bigtriangledown u)v\;dV = \int_\Omega \bigtriangledown u \bigtriangledown v \; \mathrm dV - \int_{\partial \Omega}v \bigtriangledown u\; \cdot n\;dx \end{eqnarray*}$ (4.2)

um.
Mit $\begin{eqnarray*} w = n \end{eqnarray*}$ gilt für

Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} \nabla u \cdot w = \partial_w u = \frac{ \partial u}{\partial w} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla u \cdot n = \partial_n u = \frac{ \partial u}{\partial n} \end{eqnarray*}$ (5)

Angewandt auf Formel (4.2) erhält man
$\begin{eqnarray*} -\int_{\Omega}^{} div (\bigtriangledown u)v\;dV = \int_\Omega \bigtriangledown u \bigtriangledown v \; \mathrm dV - \int_{\partial \Omega}v \frac{ \partial u}{\partial n} \; dx \end{eqnarray*}$ (4.3)
was Formel (2) entsprechen sollte, wenn $\begin{eqnarray*} dx = ds \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von IfindU
Solange $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ eine skalare Funktion ist, ist das mit den Produkten eher unproblematisch. Kritisch wird es wenn es eine vektorwertige Funktion ist und man dann eine vektorielle Gleichheit hat. Dann muss man auf so viele Indizes aufpassen, dass man wahnsinnig wird.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ weist für jeden Punkt im dreidimensionalen Raum für jeden Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eine Konzentration zu. Die Eigenschaften der Testfunktion $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ kenne ich aber nicht.

Ich habe mir noch eine Frage beim Durchlesen des Wikipediaartikels zum Gaußschen Integralsatz gestellt. Dort wird erwähnt, dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathrm d\vec S:=\vec n\;\mathrm d^{(n-1)}S \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ da der Rand 2-dimensional ist?

11.04.2020, 11:04

IfindU

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Zitat:

Original von SSil
Die Funktion $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ weist für jeden Punkt im dreidimensionalen Raum für jeden Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eine Konzentration zu. Die Eigenschaften der Testfunktion $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ kenne ich aber nicht.

Du betrachtest hier allerdings den statischen Fall. D.h. Lösungen der Poissongleichungen sind Konzentrationsverteilungen, welche sich nicht mit der Zeit ändern. Bei $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ sieht man z.B. leicht, dass konstante Lösungen die Poissongleichung lösen. Andernfalls muss dort noch ein Summand mit $\begin{eqnarray*} \partial_t u \end{eqnarray*}$ auftauchen.

Zitat:

Ich habe mir noch eine Frage beim Durchlesen des Wikipediaartikels zum Gaußschen Integralsatz gestellt. Dort wird erwähnt, dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathrm d\vec S:=\vec n\;\mathrm d^{(n-1)}S \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ da der Rand 2-dimensional ist?

Hier ist $\begin{eqnarray*} n = 3 \end{eqnarray*}$ , das Gebiet 3-Dimensional ist. Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} n- 1 = 2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \vec n\;\mathrm d^{(n-1)}S = \vec n\;\mathrm d^{2}S \end{eqnarray*}$ , womit man das zweidimensionale (Hausdorff-)Maß meint. Das zweidimensionale Hausdorff-Maß misst zweidimensionale Objekte (d.h. insb. Ränder von "schönen" dreidimensionalen Objekten)

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