Großer Fermat für rationale Zahlen

09.04.2020, 16:51

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Großer Fermat für rationale Zahlen

Meine Frage:
Guten Tag,

ich habe eine kurze Frage: Beim Großen Fermat weiß man ja seit einigen Jahren sicher, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^n+y^n=z^n \end{eqnarray*}$ unlösbar über IN ist.

Meine Ideen:
Mir ist gerade die Frage gekommen, wie es wohl über den rationalen Zahlen aussieht?

09.04.2020, 17:25

Leopold

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Seien

$\begin{align*} x = \frac{x_1}{x_2}, \ y = \frac{y_1}{y_2}, \ z = \frac{z_1}{z_2} \end{align*}$

die Bruchdarstellungen der rationalen Zahlen. Die Variablen mit Index stehen also für ganze Zahlen. Wenn nun für eine ganze Zahl $\begin{align*} n \geq 3 \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} \left( \frac{x_1}{x_2} \right)^n + \left( \frac{y_1}{y_2} \right)^n = \left( \frac{z_1}{z_2} \right)^n \end{align*}$

so multipliziere diese Gleichung mit $\begin{align*} {x_2}^n{y_2}^n{z_2}^n \end{align*}$ durch. Man braucht nur, daß das Potenzieren mit dem Multiplizieren und Dividieren verträglich ist.

10.04.2020, 15:37

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Danke!

10.05.2020, 22:49

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Habe doch eine Frage:

Wenn ich mit $\begin{eqnarray*} {x_2}^n{y_2}^n{z_2}^n \end{eqnarray*}$ multpliziere, habe ich die äquivalente Gleichung $\begin{eqnarray*} ({x_1y_2z_2})^n+({x_2y_1z_2})^n=({x_2y_2z_1})^n \end{eqnarray*}$ . Das sieht aus wie eine spezielle Fermatgleichung.

Da diese generell für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ unlösbar ist, kann es auch keine Lösung $\begin{eqnarray*} x = \frac{x_1}{x_2}, \ y = \frac{y_1}{y_2}, \ z = \frac{z_1}{z_2} \end{eqnarray*}$ geben?

13.05.2020, 20:34

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Kann mir da jemand weiterhelfen?

15.05.2020, 10:32

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Wäre super smile

15.05.2020, 11:55

tatmas

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Ja.

Wie jede homogene Gleichung ist $\begin{eqnarray*} X^n+y^n=z^n \end{eqnarray*}$ genau dann über den rationalen Zahlen lösbar wenn es über den ganzen lösbar ist.

15.05.2020, 21:05

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Zitat:

Original von tatmas
Wie jede homogene Gleichung ist $\begin{eqnarray*} X^n+y^n=z^n \end{eqnarray*}$ genau dann über den rationalen Zahlen lösbar wenn es über den ganzen lösbar ist.

Hui, das finde ich verblüffend...

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