Summe ungerader Zahlen

09.04.2020, 23:30

Bebserbebe

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Summe ungerader Zahlen

Man soll beweisen
1+3+5+7+...+2n-1=n^2

Reicht es hierfür zu sagen:
1=1
2+2=4
3+3+3=9
...
wenn man jede zeile jeweils mit der nachherigen subtrahiert erhält man: 1+2 ,2+3 , 3+4 , 4+5 , 5+6 usw.

somit wird ja stets eine gerade Zahl mit einer ungeraden addiert und somit ist das ergebnis stets ungerade und die Additionen haben immer einen Abstand von 2(relativ zur vorherigen) zu einander somit kommt jede ungerade Zahl vor.
Reicht so eine Argumentation als Beweis oder ist das nicht ausreichend?

09.04.2020, 23:48

11is

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Zitat:

Man soll beweisen
1+3+5+7+...+2n-1=n^2

Die einfachste Möglichkeit ist natürlich Induktion.

Zitat:

Reicht es hierfür zu sagen:
1=1
2+2=4
3+3+3=9

Das reicht natürlich nicht.
Die Idee ist aber nicht schlecht. Es erinnert ja an die Idee von der Gaußschen Summenformel.
Dies müsstest du aber sauber aufschreiben und beweisen.

Zitat:

wenn man jede zeile jeweils mit der nachherigen subtrahiert erhält man: 1+2 ,2+3 , 3+4 , 4+5 , 5+6 usw.

Wie passt das mit oben geschilderter Idee zusammen?

Zitat:

somit wird ja stets eine gerade Zahl mit einer ungeraden addiert und somit ist das ergebnis stets ungerade und die Additionen haben immer einen Abstand von 2(relativ zur vorherigen) zu einander somit kommt jede ungerade Zahl vor.

Was hat das mit der gestellten Aufgabe zu tun?

Zitat:

Reicht so eine Argumentation als Beweis oder ist das nicht ausreichend?

Es ist natürlich nicht ausreichend. Ich bin verwirrter als vorher. Das ist immer ein schlechtes Zeichen.
Verstehst du selber deinen Beweis?
Es ist auch überhaupt nicht klar, was du da überhaupt zeigst.

Du möchtest doch zeigen, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen gleich n² ist.

Wie gesagt. Mit Induktion ist das eine leichte Fingerübung.
Mehr lernst du, wenn du die Idee von Gauß benutzt.

10.04.2020, 00:08

Ulrich Ruhnau

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RE: Summe ungerade zahlen

Zitat:

Original von Bebserbebe
Man soll beweisen
1+3+5+7+...+2n-1=n^2

Mein Vorschlag ist der folgende:

$\begin{eqnarray*} \left.1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2\quad\right|\cdot 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.2+4+6+\ldots+2n=n(n+1)\quad\right|-n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+3+5+\ldots+2n-1=n^2\quad \end{eqnarray*}$

10.04.2020, 00:12

Luftikus

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RE: Summe ungerade zahlen

Zitat:

Original von Bebserbebe
Man soll beweisen
1+3+5+7+...+2n-1=n^2

Reicht so eine Argumentation als Beweis oder ist das nicht ausreichend?

Die Methode der Wahl ist die vollständige Induktion:

$\begin{eqnarray*} n^2+(2n+1)=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du eine Summe ungerader Zahlen hast:

$\begin{eqnarray*} 1 + 3 + 5 + ... + u_k \end{eqnarray*}$

kannst du dir zum direkten Beweis auch überlegen, dass die Summe dann ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{(u_k+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Deine Formel bekommst du dann in der Darstellung

$\begin{eqnarray*} u_k=2 k -1 \end{eqnarray*}$

10.04.2020, 07:11

Elvis

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RE: Summe ungerade zahlen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

Zitat:

Original von Bebserbebe
Man soll beweisen
1+3+5+7+...+2n-1=n^2

Mein Vorschlag ist der folgende:

$\begin{eqnarray*} \left.1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2\quad\right|\cdot 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.2+4+6+\ldots+2n=n(n+1)\quad\right|-n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+3+5+\ldots+2n-1=n^2\quad \end{eqnarray*}$

Wie kommst du im letzten Schritt auf die linke Seite?
Nachtrag : Jetzt bin ich munter und sehe es auch. Du bist ein Genie. Freude

Freude

Nachtrag : Damit ich nicht wegen übertriebenen Lobes unangenehm auffalle, formuliere ich das noch einmal um. "Der siebenjährige Carl Friedrich koennte ein guter Mathematiker werden." Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.04.2020, 15:19

Bebserbebe

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Zitat:

Original von 11is

Zitat:

Man soll beweisen
1+3+5+7+...+2n-1=n^2

Die einfachste Möglichkeit ist natürlich Induktion.

Zitat:

Reicht es hierfür zu sagen:
1=1
2+2=4
3+3+3=9

Das reicht natürlich nicht.
Die Idee ist aber nicht schlecht. Es erinnert ja an die Idee von der Gaußschen Summenformel.
Dies müsstest du aber sauber aufschreiben und beweisen.

Zitat:

wenn man jede zeile jeweils mit der nachherigen subtrahiert erhält man: 1+2 ,2+3 , 3+4 , 4+5 , 5+6 usw.

Wie passt das mit oben geschilderter Idee zusammen?

Zitat:

somit wird ja stets eine gerade Zahl mit einer ungeraden addiert und somit ist das ergebnis stets ungerade und die Additionen haben immer einen Abstand von 2(relativ zur vorherigen) zu einander somit kommt jede ungerade Zahl vor.

Was hat das mit der gestellten Aufgabe zu tun?

Zitat:

Reicht so eine Argumentation als Beweis oder ist das nicht ausreichend?

Es ist natürlich nicht ausreichend. Ich bin verwirrter als vorher. Das ist immer ein schlechtes Zeichen.
Verstehst du selber deinen Beweis?
Es ist auch überhaupt nicht klar, was du da überhaupt zeigst.

Du möchtest doch zeigen, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen gleich n² ist.

Wie gesagt. Mit Induktion ist das eine leichte Fingerübung.
Mehr lernst du, wenn du die Idee von Gauß benutzt.

Naja wenn man zeigen kann das alle ungeraden zahlen vorkommen müssen bis n^2 dann beweist man ja auch das 1+3+5+7+..2n-1=n^2 ist dachte ich mir ..

und wenn man die Zahlen so aufschreibt sieht man ja ganz klar das sich die reihen von einander jeweils um das vorherige n+(n+1) unterscheiden:
1=1
2+2=4
3+3+3=9

dann unterscheiden sich ja die reihen von einander um als bsp:
2^2-1^2= 1+2 =3
3^3-2^2= 2+3 =5
4^4-3^3= 3+4 =7

aber von der lösung her ist eigentlich eh auch nicht das gefragt gewesen was ich aufgeschrieben habe also vergess ich das vielleicht lieber mal^^

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10.04.2020, 15:21

Bebserbebe

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RE: Summe ungerade zahlen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

Zitat:

Original von Bebserbebe
Man soll beweisen
1+3+5+7+...+2n-1=n^2

Mein Vorschlag ist der folgende:

$\begin{eqnarray*} \left.1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2\quad\right|\cdot 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.2+4+6+\ldots+2n=n(n+1)\quad\right|-n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+3+5+\ldots+2n-1=n^2\quad \end{eqnarray*}$

Ziemlich logisch und schön danke für die antwort

10.04.2020, 15:31

Elvis

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Wieso "ziemlich"? Hast du die Antwort verstanden?
Wieso "logisch"? Ich sehe nur Arithmetik.

10.04.2020, 15:32

Bebserbebe

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RE: Summe ungerade zahlen

Zitat:

Original von Luftikus

Zitat:

Original von Bebserbebe
Man soll beweisen
1+3+5+7+...+2n-1=n^2

Reicht so eine Argumentation als Beweis oder ist das nicht ausreichend?

Die Methode der Wahl ist die vollständige Induktion:

$\begin{eqnarray*} n^2+(2n+1)=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du eine Summe ungerader Zahlen hast:

$\begin{eqnarray*} 1 + 3 + 5 + ... + u_k \end{eqnarray*}$

kannst du dir zum direkten Beweis auch überlegen, dass die Summe dann ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{(u_k+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Deine Formel bekommst du dann in der Darstellung

$\begin{eqnarray*} u_k=2 k -1 \end{eqnarray*}$

Versteh die Schritte nicht ganz ..etwas detaillierter ? smile

smile

10.04.2020, 15:32

Bebserbebe

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Zitat:

Original von Elvis
Wieso "ziemlich"? Hast du die Antwort verstanden?

Ja hab ich.. im letzten schritt teilt man sozusagen das n gleichmäßig über die zahlen auf so das überall 1 subtrahiert wird

10.04.2020, 15:34

Elvis

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Kannst du es auch erklären?
STIMMT.

10.04.2020, 15:42

Bebserbebe

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Zitat:

Original von Elvis
Wieso "ziemlich"? Hast du die Antwort verstanden?
Wieso "logisch"? Ich sehe nur Arithmetik.

Big Laugh

..ich sehe nur Zahlen und buchstaben

10.04.2020, 15:56

Elvis

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Ich auch. Die Logik hat Ulrich Ruhnau vergessen, wir können sie ergänzen, indem wir zwischen den Zeilen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ einfügen.
Addition, Multiplikation und Brüche gehören zur Arithmetik. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.04.2020, 16:18

Luftikus

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RE: Summe ungerade zahlen

Zitat:

Original von Bebserbebe

Zitat:

Original von Luftikus
Wenn du eine Summe ungerader Zahlen hast:

$\begin{eqnarray*} 1 + 3 + 5 + ... + u_k \end{eqnarray*}$

kannst du dir zum direkten Beweis auch überlegen, dass die Summe dann ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{(u_k+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Deine Formel bekommst du dann in der Darstellung

$\begin{eqnarray*} u_k=2 k -1 \end{eqnarray*}$

Versteh die Schritte nicht ganz ..etwas detaillierter ? smile

smile

Mal schauen, etwas Prosa..

Alles ungerade Zahlen, die Summe der ersten und letzten, der zweiten und vorletzten, etc. sind alle gleich und gerade. Die Hälfte dieser Summe ist ungerade oder gerade und kommt dann je ungeraden Zahlenpaar 2x vor.
Jetzt kann es es sein, dass die Anzahl der Zahlen selbst gerade oder ungerade ist. Ist sie gerade, geht es auf, ist sie ungerade bleibt das arithmetische Mittel, eine ungerade Zahl übrig. Allerdings ist sie genau die Hälfte der Summe der beiden ungeraden Zahlen und wird in dem Faktor der Anzahl berücksichtigt, so dass (uk+1)/2 genau (uk+1)/2 mal vorkommen.

Nummeriert man die ungerade Zahlen uk durch, mit 2k-1 dann folgt:

(2k-1+1)^2/4 = 4*k^2/4 = k^2

wie vorausgesetzt.

10.04.2020, 16:43

Ulrich Ruhnau

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RE: Summe ungerade zahlen

Zitat:

Original von Elvis
Wie kommst du im letzten Schritt auf die linke Seite?
Nachtrag : Jetzt bin ich munter und sehe es auch. Du bist ein Genie. Freude

Freude

Nachtrag : Damit ich nicht wegen übertriebenen Lobes unangenehm auffalle, formuliere ich das noch einmal um. "Der siebenjährige Carl Friedrich koennte ein guter Mathematiker werden." Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hallo Elvis, danke für das Kompliment! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Leider bin ich nicht mehr sieben. Viel Zeit bleibt mir leider nicht mehr, Großes zu leisten. geschockt

geschockt

Aber ich strenge mich an und lasse mich derweil von Matheboard motivieren. Engel

Engel

10.04.2020, 16:54

Leopold

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@ Luftikus

Hier meldet sich am Karfreitag des Corona-Jahres 2020 Carl Friedrich Gauß aus dem Grab: Wer hat mir den Trick geklaut, mit dem ich damals … na, ihr wißt schon …

Das kann man dann auch gleich so machen:

$\begin{align*} \begin{matrix} \text{?} \ = & 1 & + & 3 & + & 5 & + & \ldots & + & (2n-5) & + & (2n-3) & + & (2n-1) \\ \text{?} \ = & (2n-1) & + & (2n-3) & + & (2n-5) & + & \ldots & + & 5 & + & 3 & + & 1 \end{matrix} \end{align*}$

Jetzt wird spaltenweise addiert. Jede Spaltensumme hat den Wert $\begin{align*} 2n \end{align*}$ , und es sind $\begin{align*} n \end{align*}$ Spalten:

$\begin{align*} 2 \cdot \text{?} = 2n \cdot n \end{align*}$

$\begin{align*} \text{?} = n^2 \end{align*}$

Und jetzt begebe ich mich wieder ins Grab zurück, der Leonhard hat gerufen, der Pierre will ihm einfach seinen Beweis nicht verraten. Jedes Mal dasselbe! Und dann sagt der Leonhard: Du hast ja gar keinen, du alter Hochstapler. Und der Évariste heizt das noch an: Holt euch doch Pistolen, dann werden wir ja sehen, wer recht hat. Dabei sind wir doch alle schon tot. Was ich doch immer für eine Mühe mit den Streithähnen habe!

10.04.2020, 17:32

Ulrich Ruhnau

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Hier meldet sich Johann Wolfgang Goethe aus seinem Grab:

Wer rechnet da so gut und hold?
Es ist der schlaue Leopold
Er rechnet hin, er rechnet her,
die Theorie fällt im nicht schwer.
Mit Geduld legt er sich krumm,
denn andre sind dafür zu dumm. ROFL

ROFL

10.04.2020, 17:36

Bebserbebe

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RE: Summe ungerade zahlen

Zitat:

Original von Luftikus

Zitat:

Original von Bebserbebe

Zitat:

Original von Luftikus
Wenn du eine Summe ungerader Zahlen hast:

$\begin{eqnarray*} 1 + 3 + 5 + ... + u_k \end{eqnarray*}$

kannst du dir zum direkten Beweis auch überlegen, dass die Summe dann ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{(u_k+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Deine Formel bekommst du dann in der Darstellung

$\begin{eqnarray*} u_k=2 k -1 \end{eqnarray*}$

Versteh die Schritte nicht ganz ..etwas detaillierter ? smile

smile

Mal schauen, etwas Prosa..

Alles ungerade Zahlen, die Summe der ersten und letzten, der zweiten und vorletzten, etc. sind alle gleich und gerade. Die Hälfte dieser Summe ist ungerade oder gerade und kommt dann je ungeraden Zahlenpaar 2x vor.
Jetzt kann es es sein, dass die Anzahl der Zahlen selbst gerade oder ungerade ist. Ist sie gerade, geht es auf, ist sie ungerade bleibt das arithmetische Mittel, eine ungerade Zahl übrig. Allerdings ist sie genau die Hälfte der Summe der beiden ungeraden Zahlen und wird in dem Faktor der Anzahl berücksichtigt, so dass (uk+1)/2 genau (uk+1)/2 mal vorkommen.

Nummeriert man die ungerade Zahlen uk durch, mit 2k-1 dann folgt:

(2k-1+1)^2/4 = 4*k^2/4 = k^2

wie vorausgesetzt.

Du meinst mit den beiden ungeraden Zahlen einmal die Summe der ungeraden Zahlen(Erste und letzte) multipliziert mit der Anzah an Paaren und die zweite Zahl die sozusagen übrig gebliebene Zahl in der Mitte(falls ungerade Anzahl) ?

10.04.2020, 21:08

Bebserbebe

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Zitat:

Original von Leopold
@ Luftikus

Hier meldet sich am Karfreitag des Corona-Jahres 2020 Carl Friedrich Gauß aus dem Grab: Wer hat mir den Trick geklaut, mit dem ich damals … na, ihr wißt schon …

Das kann man dann auch gleich so machen:

$\begin{align*} \begin{matrix} \text{?} \ = & 1 & + & 3 & + & 5 & + & \ldots & + & (2n-5) & + & (2n-3) & + & (2n-1) \\ \text{?} \ = & (2n-1) & + & (2n-3) & + & (2n-5) & + & \ldots & + & 5 & + & 3 & + & 1 \end{matrix} \end{align*}$

Jetzt wird spaltenweise addiert. Jede Spaltensumme hat den Wert $\begin{align*} 2n \end{align*}$ , und es sind $\begin{align*} n \end{align*}$ Spalten:

$\begin{align*} 2 \cdot \text{?} = 2n \cdot n \end{align*}$

$\begin{align*} \text{?} = n^2 \end{align*}$

Und jetzt begebe ich mich wieder ins Grab zurück, der Leonhard hat gerufen, der Pierre will ihm einfach seinen Beweis nicht verraten. Jedes Mal dasselbe! Und dann sagt der Leonhard: Du hast ja gar keinen, du alter Hochstapler. Und der Évariste heizt das noch an: Holt euch doch Pistolen, dann werden wir ja sehen, wer recht hat. Dabei sind wir doch alle schon tot. Was ich doch immer für eine Mühe mit den Streithähnen habe!

Wusste garnicht das man sowas machen darf das ist ja fast wie schummeln Big Laugh

Big Laugh

11.04.2020, 11:39

Finn_

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Der springende Punkt bei einem scharfen Beweis besteht eigentlich in der Hinfortschaffung (dieses Wort kommt in keinem Wörterbuch vor) der drei Pünktchen. Genau hierfür wurden die Techniken der Rekursion und vollständigen Induktion entwickelt; zumindest haben sich diese herauskristallisiert. Eine kurze Überlegung führt außerdem zu dem Schluss, dass diese Art von Aufgabe recht mechanisch bewältigbar ist.

Gegenstand der Diskussion ist ja die Summe:
$\begin{eqnarray*} s_n := a_1+\ldots+a_n. \end{eqnarray*}$

Eine präzise Definition für diese ist die rekursive:
$\begin{eqnarray*} s_0 := 0, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{n+1} := s_n+a_{n+1}. \end{eqnarray*}$

Umgestellt nimmt die zweite Gleichung die Form
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = s_{n+1}-s_n \end{eqnarray*}$
an. Der Ausdruck auf der rechten Seite ist so wichtig, dass man dafür einen eigenen Operator definiert hat, den Differenzoperator
$\begin{eqnarray*} (\Delta s)_n := s_{n+1}-s_n. \end{eqnarray*}$
(Dieser ist so wie der Summierungsoperator $\begin{eqnarray*} \Sigma_{k=m}^n \end{eqnarray*}$ ein linearer Operator.)

Man muss also bloß $\begin{eqnarray*} (\Delta s)_n \end{eqnarray*}$ ausrechnen, und da muss dann $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ bei rauskommen. Also für $\begin{eqnarray*} a_n := 2n-1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2n+1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} s_n = n^2 \end{eqnarray*}$ die Behauptung. Das macht
$\begin{eqnarray*} (\Delta s)_n = (n+1)^2-n^2 = (n+1)^2-n^2 = n^2+2n+1-n^2 = 2n+1. \end{eqnarray*}$

Für die Summierung über die Darstellung $\begin{eqnarray*} (\Delta s)_n \end{eqnarray*}$ ist übrigens die Bezeichnung Teleskopsumme geläufig.

11.04.2020, 16:52

Leopold

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@ Finn_

Hier ein Beweis, nur für dich. Er erreicht natürlich das Niveau deiner Beweise nicht, zumindest gibt er sich Mühe, diesen Ansprüchen teilweise gerecht zu werden.

Sei $\begin{align*} n>0 \end{align*}$ ganz. Wir betrachten die lineare Funktion

$\begin{align*} f: \, [0,n] \to \mathbb{R} \, , \ \ x \mapsto 2x \end{align*}$

Für eine ganze Zahl $\begin{align*} k \end{align*}$ mit $\begin{align*} 1 \leq k \leq n \end{align*}$ gilt nach der Trapezregel

$\begin{align*} \int_{k-1}^k 2x ~ \dd x = f \left( k - \frac{1}{2} \right) = 2k-1 \end{align*}$

Damit folgt:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n (2k-1) \ = \ \sum_{k=1}^n \int_{k-1}^k 2x ~ \dd x \ = \ \int_0^n 2x ~ \dd x \ = \left. x^2 \right|_{\, 0}^{\, n} \ = \ n^2 \end{align*}$

11.04.2020, 21:28

Finn_

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Nun, wenn wir jetzt anfangen mit alternativen Herleitungen und Beweisen um uns zu werfen, möchte ich noch eine Methodik darbieten, die in der Zuhilfenahme einer weniger bekannten Formel reizt, welche auf die Leser betörend bis berauschend wirken mag.

Unter Benutzung homogener Koordinaten kann $\begin{eqnarray*} s_{n+1} = s_n+2n+1 \end{eqnarray*}$ umgeschrieben werden in
$\begin{eqnarray*} s_{n+1} = s_n+x_n, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n+y_n, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{n+1} = y_n, \end{eqnarray*}$
das ist ein lineares System von Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten, welches demnach die vektorielle Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}s_{n+1} \\ x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_n \\ x_n\\ y_n\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}s_0 \\ x_0\\ y_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
besitzt, kurz $\begin{eqnarray*} v_{n+1} = Av_n \end{eqnarray*}$ . In der letzten Gleichung erkennt man die Differenzengleichung der geometrischen Folge wieder, welche die Lösung $\begin{eqnarray*} v_n = A^n v_0 \end{eqnarray*}$ besitzt, wie man unschwer bestätigen kann. Hier haben wir eine Matrixfunktion $\begin{eqnarray*} f(A):=A^n \end{eqnarray*}$ vorliegen, die über ihre Eigenwerte berechenbar ist vermöge
Sylvesters Formel
$\begin{eqnarray*} f(A) = \sum_{i=1}^s A_i \sum_{k=0}^{m_i-1}\frac{f^{(k)}(\lambda_i)}{k!}(A-\lambda_i E)^k \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} A_i = \prod_{\substack{j=1\\ j\ne i}}^s \frac{1}{\lambda_i-\lambda_j} (A-\lambda_j E). \end{eqnarray*}$
Dies ist eine Verallgemeinerung von Sylvesters ursprünglicher Formel. Hierbei ist $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ die Anzahl unterschiedlicher Eigenwerte und $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ die algebraische Multiplizität des jeweiligen. Diese frappierende Formel, schon so bedeutungsschwer genug, enthält wohl den Satz von Cayley-Hamilton, was zumindest im Fall ausschließlich einfacher Eigenwerte ohne Weiteres für uns ersichtlich ist.

In unserem Fall ist, aufgrund der Dreiecksmatrix sofort ablesbar,
$\begin{eqnarray*} 0 = \det(A-\lambda E) = (1-\lambda)^3. \end{eqnarray*}$

Es gibt also nur den einen Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ mit Multiplizität $\begin{eqnarray*} m_1=3 \end{eqnarray*}$ . Die Formel vereinfacht sich zu
$\begin{eqnarray*} f(A) = \sum_{k=0}^{2} \frac{f^{(k)}(\lambda_1)}{k!}(A-\lambda_1 E)^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = f^{(0)}(\lambda_1)E+f'(\lambda_1)(A-\lambda_1 E)+\frac{f''(\lambda_1)}{2}(A-\lambda_1 E)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = E+n(A-E)+\frac{n}{2}(n-1)(A-E)^2. \end{eqnarray*}$

Das macht
$\begin{eqnarray*} A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + n\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\frac{n}{2}(n-1) \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n}{2}(n-1)\\ 0 & 1 & n\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$
und somit schließlich
$\begin{eqnarray*} A^n v_0 =\begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n}{2}(n-1)\\ 0 & 1 & n\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n^2 \\ 2n+1\\ 2\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Das macht
$\begin{eqnarray*} s_n = n^2. \end{eqnarray*}$

11.04.2020, 22:20

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

(Er versteht mich nicht.)

12.04.2020, 01:38

watchman

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke eher es ist ihm egal, was Leute über seine Beiträge denken.
Er scheint wohl einfach persönlich Freude daran zu haben, lange und ausschweifende Beweise niederzuschreiben.
Man muss ja nicht zwingend darauf reagieren, er selbst ist offenbar ja auch nicht auf einen Dialog oder Diskussionen aus und schreibt einfach neutral seinen Stiefel runter.

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