Differentialgleichung mit Euler-Verfahren lösen

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10.04.2020, 01:21

Tyson31

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Differentialgleichung mit Euler-Verfahren lösen

Hey Leute weiss jemand wie ich bei der a) beim Euler Verfahren vorgehen muss?

10.04.2020, 07:31

Huggy

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RE: Dgl
siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Explizites_Euler-Verfahren

10.04.2020, 09:20

Ulrich Ruhnau

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RE: Dgl

Zitat:

Original von Tyson31
Hey Leute weiss jemand wie ich bei der a) beim Euler Verfahren vorgehen muss?

$\begin{eqnarray*} y'(t)=2y(t)-e^t\approx \frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{y_{k+1}-y_k}{h} \end{eqnarray*}$

oder besser noch

$\begin{eqnarray*} \frac{y_{k+1}-y_k}{h}=2y(t_k)-e^{t_k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t_k=kh \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} k\in\{0,1\},\; h=\tfrac 12,\; y_0=2 \end{eqnarray*}$

Du gehst einfach zwei Schritte. Mit $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ berechnest Du $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ berechnest Du $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ .

10.04.2020, 09:31

Huggy

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RE: Dgl
@ Ulrich Ruhnau
Mir erschließt sich nicht, welchen Mehrwert dein Beitrag gegenüber dem angegebenen Verweis auf die Wiki hat. Oder war das wieder mal der unwiderstehliche Drang, auch etwas zu sagen?

10.04.2020, 09:55

Tyso31

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Ist tk = k*h immer so ?
Muss man sich einfach das so merken ?
Ich bin für jede Hilfe dankbar Big Laugh

Gerne können auch mehrere Leute helfen

mit y0 berechne ich y1.

Wo soll ich jetzt genau y0 einsetzen um y1 zu berechnen ?
Bitte um Erklärung

10.04.2020, 10:13

Huggy

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Zitat:

Original von Tyso31
Ist tk = k*h immer so ?

Allgemein gilt

$\begin{eqnarray*} t_k=t_0+kh \end{eqnarray*}$

Siehe Link. Bei deiner Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} t_0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

mit y0 berechne ich y1.

Wo soll ich jetzt genau y0 einsetzen um y1 zu berechnen ?

Genau da, wo es in dem Link steht, wenn du $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ betrachtest. Hast du ihn überhaupt gelesen?

10.04.2020, 11:24

Tyson31

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Habe den Link gelesen.
Aber finde das alles sehr schwer mit Formeln zu verstehen .
Nicht so gerade meine Stärke

Ok k= 0 betrachten verwirrt

Aber was jetzt genau ?
Finde es schon sau kompliziert

10.04.2020, 11:32

Huggy

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In dem Link steht die Vorschrift:

$\begin{eqnarray*} y_{k+1}=y_k+h f(t_k,y_k) \end{eqnarray*}$

Wie lautet diese Vorschrift, wenn du überall für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Null einsetzt. Schreib das mal hin. Lass alles sonst unverändert.

10.04.2020, 12:04

Tyson31

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y1 = y0+hf( t0,y0)

y1 =2+hf(0,2)

Was mache ich jetzt?

10.04.2020, 12:16

Huggy

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Richtig!

Jetzt setzt du noch $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ein. Das ist ja auch vorgegeben. Und dann musst du noch $\begin{eqnarray*} f(0,2) \end{eqnarray*}$ bestimmen und einsetzen. Wie lautet deine Funktion $\begin{eqnarray*} f(t,y) \end{eqnarray*}$ ?

10.04.2020, 12:35

Tyson31

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Wo soll ich h einsetzen?

Und in welche Funktion f diese 0 und 2 einsetzen?

10.04.2020, 12:45

Huggy

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Zitat:

Original von Tyson31
Wo soll ich h einsetzen?

Na da, wo in der Vorschrift $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ steht. Du hast ja jetzt schon

y1 =2+hf(0,2)

Und da, wo $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ steht, setzt du den gebenen Wert von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ein.

Zitat:

Und in welche Funktion f diese 0 und 2 einsetzen?

$\begin{eqnarray*} f(t,y) \end{eqnarray*}$ ist die Funktion, die in deiner DGL auf der rechten Seite steht. Also bei deiner Aufgabe

$\begin{eqnarray*} f(t,y)=2y-e^t \end{eqnarray*}$

Da setzt du $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ ein. Anschließend rechnest du es aus und danach die ganze rechte Seite der Vorschrift.

10.04.2020, 13:40

Tyson31

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f(0,2) =3

Wie geht es genau weiter ?
Das mit dem h ist noch nicht so ganz klar

10.04.2020, 13:52

Huggy

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Zitat:

Original von Tyson31
f(0,2) =3

Richtig.

Zitat:

Wie geht es genau weiter ?
Das mit dem h ist noch nicht so ganz klar

Du machst mich verrückt!!! Meine Rechtsanwälte werden dich wegen vorsätzlicher Körperverletzung auf ein Googol Taler Schmerzensgeld verklagen.

In der Aufgabe steht $\begin{eqnarray*} h=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ . Das eingesetzt in

Zitat:

y1 =2+hf(0,2

ergibt

$\begin{eqnarray*} y_1 =2+\frac 1 2 f(0,2) \end{eqnarray*}$

Wo hast du denn ein Problem für $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ einzusetzen? Extrem schlechtes Sehvermögen oder was?

Jetzt hast du alle Werte für die linke Seite und kannst diese ausrechnen. Damit ist endlich $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ berechnet.

10.04.2020, 14:04

Tyson31

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y1 = 2+ 1/2 * 3 = 2+ 3/2 = 7/2

Big Laugh

y1 hätte ich damit smile

Wie würde es weiter gehen jetzt ?
Sorry das ich dauernd nachfragen muss

10.04.2020, 14:36

Huggy

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Zitat:

Original von Tyson31
y1 hätte ich damit smile

Richtig.

Zitat:

Wie würde es weiter gehen jetzt ?

Same procedure as every year!

Jetzt nimmst du wieder die Vorschrift, setzt $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ein, dann alle Werte, die bekannt sind oder schon berechnet wurden, wie z. B. $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist noch $\begin{eqnarray*} f[t_1,y_1] \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Dann hat man wieder die gesamte rechte Seite und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ ist berechnet. Mehr ist bei deiner Aufgabe nicht gefragt.

10.04.2020, 15:32

Tyson31

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k=1

y2 = y1+hf(t1,y1)

y2 = 7/2 + 1/2 *f(t1,y1)

Wie berechne ich t1 ?

10.04.2020, 15:41

Huggy

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Zitat:

Original von Tyson31
Wie berechne ich t1 ?

Ja mei, das steht doch in dem Link und das haben wir doch zu Anfang schon diskutiert. Es ist

$\begin{eqnarray*} t_k=t_0+h k \end{eqnarray*}$

Nun setze hier $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ein und beachte, dass bei deiner Aufgabe $\begin{eqnarray*} t_0=0 \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Und bitte, bitte, bitte frage nicht wieder, was man mit $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ macht.

10.04.2020, 17:22

Tyson31

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t1 = 0 + 1/2 = 1/2
f(1/2, 7/2)= 7- 1,6 = 5,4

y2 =7/2 +1/2 *5,4 = 3,5+2,7 = 6,2

Ist das so richtig ?

10.04.2020, 17:29

Huggy

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Richtig!
Du solltest allerdings für die Aufgabe weniger stark runden.

10.04.2020, 17:37

Tyson32

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Kannst du mir auch beim Verfahren von Heun helfen ?
Bräuchte da auch sehr gerne Hilfe
Hast du Tipps ?

10.04.2020, 18:00

Huggy

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Im Prinzip kann ich dir da sicher auch helfen. Aber du solltest dazu erst mal die Vorschrift zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} y_{k+1} \end{eqnarray*}$ aus deinem Skript oder der Wikipedia suchen und dir ansehen. Man muss wie beim Eulerverfahren nur stur einsetzen. Du solltest dann konkret fragen, wo du nicht verstehst, was man einsetzen muss. Du hast ja jetzt schon etwas Erfahrung aus dem Eulerverfahren.

Ich werde aber vermutlich erst morgen antworten. Für heute reicht mir das Thema. Ich hoffe, du hast Verständnis dafür.

10.04.2020, 18:09

Tyson31

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Hast du schon mal paar Tips für die ersten Schritte ?

10.04.2020, 19:09

Huggy

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Es gibt da keine speziellen Tipps. Vorschrift hernehmen und die bekannten oder schon berechneten Werte einsetzen. Fertig.

10.04.2020, 19:53

Tyson31

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t0 =0
y1 = y0+hf(0,yo)

y1= 2+1/2*3 = 7/2

Und dann Formel von wiki anwenden :

k= 0

y1 =y0+1/2*h*(f(t0,y0)+f(t1,y1))

y1 =2+1/4*(3+f(1/2,7/2))

=9/4 *(3+5,4)

= 27/4 +12,15 = 18,9

Das wars nach Heun ?

11.04.2020, 08:29

Huggy

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Zitat:

Original von Tyson31
y1= 2+1/2*3 = 7/2

Richtig.
Allerdings sollte man diese Hilfsgröße nicht $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ nennen. Sie ist ja nicht mit dem nachfolgend zu berechnenden $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ identisch. Es führt immer zu Verwirrungen, wenn man unterschiedliche Größen gleich benennt.

Zitat:

y1 =2+1/4*(3+f(1/2,7/2))

Bis hier richtig. Du hast also den Rechengang bei Heun verstanden. Freude

Zitat:

=9/4 *(3+5,4)

Das stimmt nicht. Wieso machst du aus $\begin{eqnarray*} 2+ \frac 1 4 (\ldots) \end{eqnarray*}$ plötzlich $\begin{eqnarray*} \frac 9 4 (\ldots) \end{eqnarray*}$ ? Das ist falsch.

11.04.2020, 08:56

Tyson32

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Wie soll ich sonst weiter vorgehen ?

11.04.2020, 09:07

Huggy

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Bei dieser Frage sträuben sich mir wieder die Haare!
Rechne $\begin{eqnarray*} 2+ \frac 1 4 (\ldots) \end{eqnarray*}$ so aus, wie es dasteht. Die Klammer ausrechnen, das Ergebnis durch 4 teilen und zu diesem Ergebnis 2 addieren.

11.04.2020, 09:12

Tyson32

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Ah Ich bekomme 4.1 raus dann richtig ?

11.04.2020, 09:15

Huggy

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Stimmt.

11.04.2020, 09:23

Tyson31

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In der Musterlösung hat er neben der 4 noch einen zweiten Wert ausgerechnet ?
Was wird da genau gemacht ?

11.04.2020, 10:19

Huggy

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Es müssen doch 2 Schritte des Verfahrens durchgeführt werden, damit man auf $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ kommt. Im ersten Schritt wurde beginnend mit $\begin{eqnarray*} (t_0,y_0) \end{eqnarray*}$ gemäß Heun-Vorschrift $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ berechnet. Im zweiten Schritt wird beginend mit $\begin{eqnarray*} (t_1,y_1) \end{eqnarray*}$ nach derselben Vorschrift $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ berechnet. Du hast doch auch schon beim Euler-Verfahren diese beiden Schritte gemacht.

11.04.2020, 14:54

Tyson31

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Hast du tipps für das Kutta verfahren jetzt ?

11.04.2020, 15:16

Huggy

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Das Vorgehen ist immer dasselbe: Man nehme die Vorschrift zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} y_{i+1} \end{eqnarray*}$ und

Setze $\begin{eqnarray*} i=0 \end{eqnarray*}$ und rechne aus. Man bekommt $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ .
Setze $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ und rechne aus. Man bekommt $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ .
Bei deiner Aufgabe ist man damit schon fertig.

Die Vorschrift für das Runge-Kutta-Verfahren ist hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Klassische...Kutta-Verfahren

sehr übersichtlich dargestellt.

$\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+h \cdot \frac 1 6 (k_1+k_2+k_3+k_4) \end{eqnarray*}$

Man berechnet der Reihe nach $\begin{eqnarray*} k_1, k_2, k_3, k_4 \end{eqnarray*}$ mit den angegebenen Formeln und setzt ein. Da du eine Musterlösung hast, kannst die Ergebnisse mit dieser vergleichen.

12.04.2020, 11:02

Tyson31

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Ist die Rechnung für k=1 richtig ?
Ergebnis ist nicht so ganz richtig Big Laugh

12.04.2020, 11:20

Tyson31

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Ich verstehe auch nicht gerade was für einen Wert ich für ui beim Runge kutta Verfahren einsetzen soll?

12.04.2020, 12:34

Huggy

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Mir ist völlig unklar, was du da gerechnet hast. Du beginnst mit $\begin{eqnarray*} y_1=4.1 \end{eqnarray*}$ . Das war aber der Wert von $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ bei dem Heun-Verfahren. Der kann sich aber beim Runge-Kutta-Vefahren ändern. Du musst also zunächst $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ mit dem Runge-Kutta-Verfahren bestimmen.

Dann hast du 2 Werte für $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ angegeben. Es kann aber nur ein Ergebnis geben. Und die verwendete Formel hat nicht das geringste mit dem Runge-Kutta-Verfahren zu tun.

Zitat:

Original von Tyson31
Ich verstehe auch nicht gerade was für einen Wert ich für ui beim Runge kutta Verfahren einsetzen soll?

Dummerweise verwendet die Wikipedia in den Artikeln zum Heun-Verfahren und zum Runge-Kutta-Verfahren unterschiedliche Bezeichnungen. $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ ist dasselbe wie $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$

Berechne jetzt erst mal $\begin{eqnarray*} y_1=u_1 \end{eqnarray*}$ mit der angegebenen Vorschrift. Und gib dabei auch die Werte der Hilfsgrößen $\begin{eqnarray*} k_1,k_2,k_3,k_4 \end{eqnarray*}$ an, am besten in folgender Form:

$\begin{eqnarray*} k_1 = \text { Formel} = \text { Ergebnis} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_2 = \text { Formel} = \text { Ergebnis} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_3 = \text { Formel} = \text { Ergebnis} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_4 = \text { Formel} = \text { Ergebnis} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1 = \text { Formel} = \text { Ergebnis} \end{eqnarray*}$

Danach können wir uns $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ widmen.

12.04.2020, 12:38

Tyson31

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Die Rechnung oben gehört noch zum heun Verfahren Huggy.
Ich wollte y2 berechnen Big Laugh

Das Ergebnis scheint aber mit der Musterlösung nicht zu passen .
Hatte gestern nicht so viel Zeit gehabt ,daher heute wieder beim rechnen Big Laugh

12.04.2020, 12:48

Tyson31

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Ist y1 beim RIng Kutta Verfahren so:

$\begin{eqnarray*} t1 =t0 +k*h t1 = 0 + 1/2 = 1/2 i = 0 y1 = f(t1) = 2y - e^{0.5} \end{eqnarray*}$

Habe ich die Formel so richtig verstanden ?

12.04.2020, 13:31

Huggy

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Bei deiner Berechnng von $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ mit dem Heun-Verfahren muss in der zweiten Zeile, die mit $\begin{eqnarray*} y_2 = \ldots \end{eqnarray*}$ beginnt, der letzte Term nicht $\begin{eqnarray*} e^{0.5} \end{eqnarray*}$ heißen, sondern $\begin{eqnarray*} e^1 \end{eqnarray*}$ , denn da steht ja in der Vorschrift $\begin{eqnarray*} f(t_{k+1}, y_{k+1}^P) \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} t_{k+1}=t_2=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Tyson31
y1 = f(t1) = 2y - e^{0.5}[/latex]

Habe ich die Formel so richtig verstanden ?

Nein!
Zunächst mal geht es hier um die Hilfsgröße $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ . Nenn die bitte auch so und nicht $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ . Und die Formel heißt

$\begin{eqnarray*} k_1=f(t_i,y_i) \end{eqnarray*}$

Wenn du also $\begin{eqnarray*} y_1=y_{i+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i=0 \end{eqnarray*}$ berechnen willst, dann ergibt das

$\begin{eqnarray*} k_1=f(t_0,y_0)=2 y_0-e^0 \end{eqnarray*}$

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