Warum hat diese Funktion lokale Minima entlang jeder Ursprungsgeraden?

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Der_Apfel Auf diesen Beitrag antworten »
Warum hat diese Funktion lokale Minima entlang jeder Ursprungsgeraden?
Gegeben ist die Funktion . Man soll zeigen, dass kein Minimum ist und das entlang jeder Ursprungsgeraden ein lokales Minimum in besitzt.

Hab mit dem 2. Teil angefangen d.h. zu beweisen, dass entlang jeder Ursprungsgeraden ein Minimum in besitzt.

Entlang jeder Ursprungsgerade bedeutet , also hab ich das eingesetzt:

.

Die Funktion hab ich dann abgeleitet:

.

Eine Nullstelle der Ableitung ist also . Die anderen sind .
Das wären also Kandidaten für Nullstellen. Die Minima muss man nun noch durch Einsetzen in die 2. Ableitung nachweisen (sofern ich das richtig im Kopf habe):



Die 1. Nullstelle eingesetzt:



Damit ein stationärer Punkt (Nullstelle der 1. Ableitung) ein lokales Minimum ist, muss die 2. Ableitung größer 0 sein (hinreichendes Kriterium). ist immer größer 0 für .
Wie ist nun hier der Bezug zur ursprünglichen Funktion ? Heißt das, ist eine Nullstelle aber nur für ? Kann ja irgendwie auch nicht sein, da eben keine Nullstelle ist nach Aussage der nächsten Aufgabe? verwirrt traurig

Okay, dann die nächsten stationären Punkte eingesetzt:



Hmm, und jetzt? Macht es Sinn hier weiter zu rechnen verwirrt

Ich verstehe ehrlich gesagt auch die Formulierung nicht "entlang jeder Ursprungsgerade" - was soll das bedeuten? Ist die ganze Gerade eine Nullstelle?

Naja, dann zur nächsten Aufgabe (das wird ein langer Beitrag):

Ich hab die Definitheit der Hesse-Matrix bestimmt um zu sehen, ob es ein hinreichendes Kriterium für ein Minimum gibt:

mit .
Also haben wir hier nur die notwendige Bedingung für ein Minimum erfüllt, aber keine hinreichende (wäre auch seltsam wenn die Matrix positiv definit wäre wenn man zeigen soll, dass es eben kein Minimum gibt).

Meine Intuition sagt mir nun, dass man sich die Umgebung von ansehen muss, um eventuelle Punkte zu finden, die kleiner als sind (also negativ).
Ich hab dazu ehrlich gesagt keine Idee wie man das systematisch macht? Deswegen hab ich mir den Graphen von Wolframalpha plotten lassen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3x...B2y+%2B+y%C2%B2

Und da sieht man schön, dass es Punkte um gibt, die kleiner als 0 sind (z.B. .

Reicht hier nun schon das Einsetzen in : um zu zeigen, dass kein lokales Minimum ist?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum hat diese Funktion lokale Minima entlang jeder Ursprungsgeraden?
Zitat:
Eine Nullstelle der Ableitung ist also . Die anderen sind .

Es soll doch nur gezeigt werden dass

Zitat:
entlang jeder Ursprungsgeraden ein Minimum in besitzt.

Falls es also auf einer Ursprungsgeraden für noch ein Minimum gibt, ist das uninteressant.

Zitat:
Damit ein stationärer Punkt (Nullstelle der 1. Ableitung) ein lokales Minimum ist, muss die 2. Ableitung größer 0 sein (hinreichendes Kriterium). ist immer größer 0 für . Wie ist nun hier der Bezug zur ursprünglichen Funktion ? Heißt das, ist eine Nullstelle aber nur für ? Kann ja irgendwie auch nicht sein, da eben keine Nullstelle ist nach Aussage der nächsten Aufgabe? verwirrt traurig

Das ist eine völlig verquere Frage. Erstens geht es nicht um Nullstellen, sondern um lokale Minima. Zweitens geht es im Moment nicht um die allgemeine Funktion , sondern um diese nur auf einer Ursprungsgeraden betrachteten Funktion. Dafür hast du gezeigt, dass sie für in ein lokales Minimum besitzt.

Der Fall ist noch separat zu untersuchen. Ebenso ist die Ursprungsgerade noch separat zu betrachten.

Zitat:
Meine Intuition sagt mir nun, dass man sich die Umgebung von ansehen muss, um eventuelle Punkte zu finden, die kleiner als
sind (also negativ). Ich hab dazu ehrlich gesagt keine Idee wie man das systematisch macht?

Keine Ahnung, ob es dafür ein System gibt. Ich versuche es mit Phantasie und Intuition.

Zitat:
Reicht hier nun schon das Einsetzen in : um zu zeigen, dass kein lokales Minimum ist?

Natürlich nicht! Man muss doch zeigen, dass es in jeder Umgebung von Punkte mit negativem Wert gibt. Betrachte mal die Parabel .
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum hat diese Funktion lokale Minima entlang jeder Ursprungsgeraden?
[attach]50958[/attach]
Warum willst du nicht die Hessematrix einsetzen?

Ich würde lieber f nach x und y partiell ableiten und dann erst einmal schauen, was sich ergibt.
Alternativ könntest Du zu Polarkoordinaten übergehen.

Dein Ansatz hat die Schwäche, daß problematisch ist.
Warum setzt Du nicht den Plotter hier von Matheboard ein für unterschiedliche Winkel ?

Wir interessieren uns für
Der_Apfel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Antworten!

Zitat:
Falls es also auf einer Ursprungsgeraden für noch ein Minimum gibt, ist das uninteressant.

Stimmt, hab in dem Moment ganz vergessen, dass die Aufgabenstellung auf begrenzt ist.

Zitat:
Der Fall m=0 ist noch separat zu untersuchen. Ebenso ist die Ursprungsgerade x=0 noch separat zu betrachten.


Wenn dann hat man mit und . wird Null für , , . D.h. ist kein Sattelpunkt da für einen Sattelpunkt:

Zitat:
Sind die ersten beiden Ableitungen gleich 0 und die 3. Ableitung ungleich 0, so liegt ein Sattelpunkt vor

erfüllt sein muss? Aber das hinreichende Kriterium für ein lokales Minimum ist nicht erfüllt. Wenn man sich den Graphen anschaut sieht sehr offensichtlich nach einem lokalen bzw. sogar globalen Minimum aus da

Mit erhält man mit . Die 1. Ableitung wird also gleich Null mit . Die 2. Ableitung ist positiv d.h. ist ein lokales Minimum.

Zitat:
Natürlich nicht! Man muss doch zeigen, dass es in jeder Umgebung von (0,0) Punkte mit negativem Wert gibt. Betrachte mal die Parabel y=2x2.

Was bedeutet das "in jeder Umgebung"? Gibt ja auch lokale Minima die global gesehen nicht minimal sind, da könnte ich die Umgebung doch beliebig groß machen und dann ist es plötzlich kein Minimum mehr?
Es heißt doch immer "in einer Umgebung ". Und wie kommst du auf ? Tut mir Leid, das verstehe ich nicht.

Zitat:
Warum willst du nicht die Hessematrix einsetzen?

Wohin einsetzen?

Zitat:
Ich würde lieber f nach x und y partiell ableiten und dann erst einmal schauen, was sich ergibt.

Was mache ich dann mit dem Gradienten?

Zitat:
Warum setzt Du nicht den Plotter hier von Matheboard ein für unterschiedliche Winkel Æ?

Ich bin kein TeX-Profi und hab deswegen Wolframalpha verlinkt. Tut mir Leid.

Zitat:
Alternativ könntest Du zu Polarkoordinaten übergehen.

Mit Polarkoordinaten hatte ich bisher nur im 1. Semester bei komplexen Zahlen zu tun. Da hab ich absolut 0 Ahnung wie ich das hier anwenden kann. traurig

P.S. Mir ist leider nicht klar, wie die Aussagen "eine Funktion hat kein lokales Minimum in (0,0)" und "eine Funktion hat lokale Minima in (0,0) entlang jeder Ursprungsgeraden" zusammen passen.
Ist das einfach ein Formulierungstrick da mit den Minima der Ursprungsgeraden-Funktionen überhaupt kein Zusammenhang zu den Minima der ursprünglichen Funktion besteht und man sie somit komplett getrennt betrachten muss?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Der_Apfel
Wenn dann hat man mit und . wird Null für , , . D.h. ist kein Sattelpunkt da für einen Sattelpunkt:

Erinnere dich noch mal an die Schulmathematik. Ist und , so liegt ein Minimum vor.

Zitat:
Gibt ja auch lokale Minima die global gesehen nicht minimal sind,

Selbstverständlich! Es könnte doch an anderer Stelle ein noch kleineres lokales Minimum geben oder die Funktion steigt außerhalb des lokalen Minimums zunächst an und geht weiter entfernt dann gegen . Aber das hat nichts mit der Aufgabe zu tun.

Zitat:
da könnte ich die Umgebung doch beliebig groß machen und dann ist es plötzlich kein Minimum mehr?

Schmarrn!
Eine Funktion hat in per Definition ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung gibt, in der alle sind. Wenn es eine solche Umgebung gibt, gilt das natürlich auch für alle kleineren Umgebungen. Die sind ja Teilmengen der gefunden Umgebung. Für größere Umgebungen muss das nicht mehr gelten. Die Negation ist dann, dass man in jeder beliebigen (insbesondere in jeder beliebig kleinen Umgebung) -Werte findet mit ).

Zitat:
Und wie kommst du auf ? Tut mir Leid, das verstehe ich nicht.

Wie gesagt mit Phantasie und Intuition. Setze es einfach mal in ein.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

@Der_Apfel: Du kannst ja deine Funktion auch etwas umschreiben:



Siehst du nun, was bei Huggys Intuition passiert?
 
 
Der_Apfel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Erinnere dich noch mal an die Schulmathematik. Ist f′=f″=f‴=0 und f(4)>0, so liegt ein Minimum vor.

Alles klar, das war mir so aus der Schulmathe nicht mehr bekannt.

Zitat:
Wie gesagt mit Phantasie und Intuition. Setze es einfach mal in f(x,y) ein.

Okay, dann erhält man .
Also gilt: .

Okay, danke!
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du nochmal üben möchtest, könntest du dir ja die Funktion nochmal anschauen. Hat diese nun in ein Minimum?
Der_Apfel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte gesagt, ist kein lokales Minimum:

und .

Mit und . Das notwendige Kriterium für ein lokales Minimum ist also erfüllt, aber nicht das hinreichende.

Man kann die Funktion umformen .

Wenn man zeigen will, dass kein lokales Minimum ist muss man eine Umgebung finden, in der . Dafür muss also gelten:

oder .

Da nicht gleichzeitig größer und kleiner sein kann, muss gelten: . Da hab ich es mit probiert:



Damit gilt und ist kein lokales Minimum.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum hat diese Funktion lokale Minima entlang jeder Ursprungsgeraden?
Zitat:
Original von Der_Apfel
Gegeben ist die Funktion .
Man soll zeigen, dass kein Minimum ist und das entlang jeder Ursprungsgeraden ein lokales Minimum in besitzt.

Sei





In diesem Ausdruck läßt sich r ausklammern



Das bedeutet, daß wir an der Stelle r = 0 einen Sattelpunkt oder einen Extrempunkt haben und die zweite Ableitung nach r brauchen.



Weil für alle gilt:



liegt hier ein lokales Minimum vor.
[attach]50961[/attach]
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

@Der_Apfel: Jap! Freude Ich hatte die Funktion wieder anders umgeformt:
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Der_Apfel
Man kann die Funktion umformen .

Das ist überhaupt der beste Hinweis. Man könnte hier eine Koordinatentransformation ansetzen:



Dann gilt für unsere neue Funktion h(u,v):

was soviel bedeutet, daß h negativ ist, wenn einer der beiden Faktoren negativ ist und der andere positiv.

Z.B:







Negative Funktionswerte treten in genau diesem Bereich auf.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum hat diese Funktion lokale Minima entlang jeder Ursprungsgeraden?
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Weil für alle gilt:



liegt hier ein lokales Minimum vor.

Als hinreichende Bedingung wird benötigt. reicht nicht. Man muss also bei noch die 3. und 4. Ableitung bemühen.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum hat diese Funktion lokale Minima entlang jeder Ursprungsgeraden?
Zitat:
Original von Huggy
Als hinreichende Bedingung wird benötigt. reicht nicht. Man muss also bei noch die 3. und 4. Ableitung bemühen.

Das habe ich mir auch gedacht. Aber weil ich mir der Aufmerksamkeit durch andere nicht sicher war, habe ich es nicht mehr erwähnt.

Falls ist wegen und daher wird

zu was bekanntlich nur ein Minimum im Ursprung hat.
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