Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein kleinstes Element?

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Idence Auf diesen Beitrag antworten »
Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein kleinstes Element?
Hallo,

ich verstehe folgenden Satz nicht:

"Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein kleinstes Element."

Nehmen wir z.B. eine Menge A an, die nur die Zahl 1 Element beinhaltet. Laut der obigen Aussage, ist 1 das kleinste Element. Doch ich verstehe nicht warum. Um diese Aussage tätigen zu können, bräuchte es doch mindestens zwei Elemente, z.B. B={1,2}. Das kleinste Element von B ist 1.
Aussagen wie größer, kleiner, Größtes, Kleinstes... kann man nicht tätigen, wenn man nur ein Element hat.

Hoffe, ihr könnt mir da weiterhelfen.

Vielen Dank im voraus.

Gruß
Idence
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte eine (unendliche) Menge natürlicher Zahlen ,

dann exitiert darin ein Element mit Index , mit für alle i.
Das gilt auch für einelementige Mengen.
Idence Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich das richtig?

z.B. A={1}
Dann ist also

und es existiert ein


Da , folgt daraus, dass 1 das kleinste Element ist?

Dann ist das Element 1 deshalb das kleinste Element, weil man in der Definition das "kleiner gleich" verwendet? Das heißt, da steckt nichts höheres, logisches dahinter? Praktisch eine willkürliche Definition?
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein kleinstes Element?
Zitat:
Original von Idence
Nehmen wir z.B. eine Menge A an, die nur die Zahl 1 als Element beinhaltet. Laut der obigen Aussage, ist 1 das kleinste Element. Doch ich verstehe nicht warum. Um diese Aussage tätigen zu können, bräuchte es doch mindestens zwei Elemente, z.B. B={1,2}. Das kleinste Element von B ist 1.
Aussagen wie größer, kleiner, Größtes, Kleinstes... kann man nicht tätigen, wenn man nur ein Element hat.

1. Zum Sprachgebrauch: Aussagen kann man "prüfen" aber nicht "tätigen".
2. In der Menge ist die "1" sowohl das kleinste als auch das größte Element, weil es kein kleineres oder größeres Element in dieser Menge gibt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus
Betrachte eine (unendliche) Menge natürlicher Zahlen ,

dann exitiert darin ein Element mit Index , mit für alle i.

Das ist doch die Behauptung, die es zu beweisen gilt.

Zitat:
Das gilt auch für einelementige Mengen.

Klar. Aber für einelementige Mengen ist das trivial. Da braucht man nicht den allgemeinen Beweis.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von Luftikus
Betrachte eine (unendliche) Menge natürlicher Zahlen ,

dann exitiert darin ein Element mit Index , mit für alle i.

Das ist doch die Behauptung, die es zu beweisen gilt.


War von Beweis die Rede? Dachte, es geht um Verständnis.
Ein Beweis hängt von den zugrunde liegenden Axiomen ab.
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, es geht um den Beweis und der Fragesteller hat bei einelementigen Mengen ein Verständnisproblem mit der Definition des Minimums. Da kann ich natürlich falsch liegen und es geht nur um das Verständnisproblem für einelementige Mengen. Aber auch dann hängt dieses Verständnis nur von den Definition des Minimums ab. Schließlich haben einelementige Mengen auch in Zahlbereichen, z. B. den ganzen Zahlen, ein Minimum, in denen der Satz nicht gilt.
Idence Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht mir nicht um den Beweis, sondern nur um das Verständnis. Ich habe nämlich nicht verstanden, warum bei einelementigen Mengen das einzig vorkommende Element als Minimum bezeichnet werden kann. Nach meiner bisherigen Vorstellung konnte eine Aussage über Minimum/Maximum erst ab 2 Elementen getroffen werden.
z.B. A={1,2} -> min(A)=1, da 1<2

Soweit ich es richtig verstanden habe, wird in der Definition aber nicht ein "<" verwendet, sondern ein "<=", sodass auch dann von einem Minimum die Rede sein kann, wenn man nur ein Element hat.
Dieses Element kann aber anscheinend auch als Maximum bezeichnet werden.

Über diese Definition bin ich zwar irritiert, aber es wird wohl einen Grund haben, wieso das Mathematiker so machen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Idence
Über diese Definition bin ich zwar irritiert, aber es wird wohl einen Grund haben, wieso das Mathematiker so machen.

Ja. Es ist einfach praktischer, wenn auch einelementige Mengen von Zahlen ein Minimum und ein Maximum haben.
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