Minimum/Maximum einer einzelnen Zahl

10.04.2020, 15:32

Physiker2020Fr

Minimum/Maximum einer einzelnen Zahl

Meine Frage:
Hallo liebes Forum!

Was ist das min oder max einer einzelnen Zahl? Ist es die Zahl selber oder gar nicht definiert, da ja nach der Definition gar keine Zahl zum Vergleich existiert?

Meine Ideen:
Habe leider in keinem Buch etwas dazu gefunden. Würde mich über eine kurze Antwort freuen

LG

10.04.2020, 15:47

Elvis

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Das Extremum der Menge, die genau eine Zahl eines geordneten Zahlkörpers enthält, ist das Element der Menge. Das gilt sinngemäß für jede einelementige Teilmenge einer geordneten Menge. Ein Element hat kein Minimum oder Maximum, eine geordnete Menge kann solche Elemente haben.

18.04.2020, 10:54

Zeno-2

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Wenn man so will, ist das ja ein Optimierungsproblem mit Nebenbedigung.

Man könnte sagen, die Funktion $\begin{eqnarray*} f (x)=x \end{eqnarray*}$ soll optimiert (also minimiert oder maximiert) werden unter der "Nebenbedingung", dass $\begin{eqnarray*} g (x)= f (x) - c = 0 \end{eqnarray*}$ sein soll, wobei $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die gesuchte (reelle) Zahl sein soll.

Aus der Theorie der nichtlinearen Optimierung mit Lagrange Multiplikatoren könnte man folgende Gleichung benutzen:

$\begin{eqnarray*} \Lambda(x,\lambda) := f(x) + \lambda \cdot \Big(f(x)-c\Big) \end{eqnarray*}$

In unserem Fall

$\begin{eqnarray*} \Lambda(x,\lambda) := x + \lambda \cdot \Big(x-c\Big) \end{eqnarray*}$

Mal sehen, ob das zu etwas Sinnvollem führt:

"Dieses Extremum kann über den Gradienten der Lagrange-Funktion berechnet werden:"

$\begin{eqnarray*} \nabla_{x,\lambda} \Lambda(x , \lambda)=0. \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \Lambda}{\partial x} &= 1 - \lambda c &&= 0, \qquad \text{(i)} \\<br /> \frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda} &= x - c &&= 0. \qquad \text{(ii)} \end{eqnarray*}$

Hieraus folgt also, dass $\begin{eqnarray*} x_* = c \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} \lambda = 1/c \end{eqnarray*}$ ) die Lösung des Optimierungsaufgabe ist.
smile