Winkel im Dreieck gesucht

11.04.2020, 13:12	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel im Dreieck gesucht Dann will ich auch mal eine Geometrie-Aufgabe stellen: Im Dreieck $\begin{eqnarray} \triangle ABC \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ der Schwerpunkt und $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ der Mittelpunkt des Inkreises. Die Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ liegen wie gewohnt an den Eckpunkten $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} IG \parallel AB \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta=2\arctan\left(\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray}$ . Man bestimme $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Viel Spaß und frohe Ostern.
11.04.2020, 14:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} a:b:c = 5:3:4 \end{align}$
13.04.2020, 11:28	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Frage, wie weit ich das Dreieck konstruieren kann, hat mir die Winkelangabe für $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ weitergeholfen. Der Tangens des halben Winkels ist demnach (1/3), und das bedeutet: $\begin{eqnarray} \frac{r}{\|\overline{BD}\|} = \frac{r}{\|\overline{EB}\|} = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Damit kann ich einmal die beiden rechtwinkligen Dreiecke $\begin{eqnarray} IBD \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} IEB \end{eqnarray}$ errichten. Am Winkel $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ist noch interessant: $\begin{eqnarray} \tan \left(2 \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \right)=0.75=\frac{3}{4} \end{eqnarray}$ Also könnte ich $\begin{eqnarray} \frac{b}{c}=\frac{3}{4} \end{eqnarray}$ annehmen (würde mit der Lösung von Leopold übereinstimmen), aber ich sehe noch keinen zwingenden Grund dafür, denn es könnte genausogut $\begin{eqnarray} \frac{b}{a}=\frac{3}{4} \end{eqnarray}$ gelten. Es wird wohl mit $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ zusammenhängen, den ich noch nicht miteinbeziehen konnte. Zwingend ist jedenfalls, dass Seite $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ dem Inkreis tangential anliegt. [attach]50977[/attach]
13.04.2020, 21:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Hinweis: Die Geraden $\begin{align} IG \end{align}$ und $\begin{align} AB \end{align}$ sind genau dann parallel zueinander, wenn $\begin{align} c \end{align}$ das arithmetische Mittel von $\begin{align} a \end{align}$ und $\begin{align} b \end{align}$ ist. Die Figur zeigt den Fall a:b:c = 5:11:8. [attach]50988[/attach]
13.04.2020, 22:52	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, genau dieser Zusammenhang hat mir gefehlt. [attach]50990[/attach] Die Lage des Schwerpunktes entscheidet, welches der beiden rechtwinkligen Dreiecke gilt. Der rechte Winkel liegt also in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ .
14.04.2020, 11:06	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt natürlich. Die Aufgabe stammt aus dem Jahr 2019 und ist eine Wettbewerbsaufgabe. Lösungen findet man auch dort (und natürlich auch noch weitere schöne Aufgaben): https://kskedlaya.org/putnam-archive/
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