Linearität einer Ableitungsfunktion prüfen

12.04.2020, 13:46

fyt

Linearität einer Ableitungsfunktion prüfen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
wie beweise ich, dass die Funktion f(t) = 0.5 (d/dt) u(t) linear ist?

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich dafür die beiden Beweise f(ax) = a * f(x) und f(x+y) = f(x) + f(y) durchführen muss. Aber wie mache ich das hier in diesem Beispiel?

Mein Ansatz:
f(t * a) = 0.5 (d/dt) * a * u(t)
f(t + y) = 0.5 (d/dt) * u(t) + f(y)

12.04.2020, 13:59

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RE: Linearität einer Ableitungsfunktion prüfen
Für $\begin{eqnarray*} u(t)=t^4 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(t)=2t^3 \end{eqnarray*}$ nicht linear in t. Das kann also nicht stimmen.
Wie lautet die Aufgabe genau?

12.04.2020, 14:18

fyt

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Es geht um diese Aufgabe:
[attach]50967[/attach]

12.04.2020, 14:52

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Auf dem Bild kann ich nur eine einzige Gleichung erkennen und über y und u ist nichts weiter bekannt.
So kann ich nicht wirklich helfen. Vielleicht kann das jemand anders einordnen.

12.04.2020, 14:59

fyt

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Es ist nur bekannt, dass es ein zeitkontinuierliches System ist und u(t) ist die Eingangsfunktion und y(t) ist die Reaktion (Ausgang).

12.04.2020, 15:16

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Die Reaktion y hängt sicher linear von der Eingangsfunktion ab, einfach weil die Ableitung linear ist. Die Summe zweier Eingangsfunktionen führt also zu Summe der Reaktionen.
Zeitinvarianz von y würde ich als $\begin{eqnarray*} 0=\frac{d}{dt}y \end{eqnarray*}$ interpretieren. Setzt man das ein, muss die zweite Abletung von u Null sein. Was folgt daraus für u ?

12.04.2020, 15:40

fyt

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u wäre also zeitlich unabhängig von y und damit wäre das System zeitinvariant.

Wie könnte ich dann noch beweisen, dass die Ableitung linear ist?

12.04.2020, 15:56

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Zitat:

u wäre also zeitlich unabhängig von y

Verstehe ich nicht verwirrt

Ich dachte, man soll sich überlegen, für welche Eingangsfunktionen u die Antwort y zeitunabhängig ist. Also: Für welche u ist $\begin{eqnarray*} 0=\frac{d}{dt}y=\frac 1 2 \frac{d^2}{dt^2}u \end{eqnarray*}$ . Also für welche u ist $\begin{eqnarray*} 0=\frac{d^2}{dt^2}u \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie könnte ich dann noch beweisen, dass die Ableitung linear ist?

Ich kann mir nicht vorstellen, dass du $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}(u_1+u_2)=\frac{d}{dt}u_1+\frac{d}{dt}u_2 \end{eqnarray*}$ wirklich noch zeigen muss. Aber wenn doch, dann über den Differenzenquotienten und Grenzwertbetrachtung - wie man eben die Ableitung definiert.

Hier kommt es vermutlich auf folendes an: Du hast ein Eingangssignal $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und die Anwort $\begin{eqnarray*} y_1=\frac 1 2 \frac{d}{dt}u_1 \end{eqnarray*}$ .
Du hast ein zweites Eingangssignal $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ und die Anwort $\begin{eqnarray*} y_2=\frac 1 2 \frac{d}{dt}u_2 \end{eqnarray*}$ .

Wie ist die Anwort auf das kombinierte Eingangssignal $\begin{eqnarray*} a_1u_1+a_2u_2 \end{eqnarray*}$ mit zwei Konstanten $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \end{eqnarray*}$ ?
Ist die Anwort gleich $\begin{eqnarray*} a_1y_1+a_2y_2 \end{eqnarray*}$ , dann würde ich das System linear nennen.

12.04.2020, 16:13

Huggy

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Zitat:

Original von URL
Ich dachte, man soll sich überlegen, für welche Eingangsfunktionen u die Antwort y zeitunabhängig ist.

Vermutlich ist mit Zeitinvarianz etwas anderes gemeint, nämlich: Wenn man statt des Eingangssignals $\begin{eqnarray*} u(t) \end{eqnarray*}$ das zeitlich verschobene Eingangssignal $\begin{eqnarray*} u(t-t_0) \end{eqnarray*}$ betrachtet, dann erhält man das gleiche Ausgangssignal, nur halt mit der gleichen zeitlichen Verschiebung, also $\begin{eqnarray*} y(t-t_0 \end{eqnarray*}$ ). Das ist aber eine reine Vermutung von mir. Der Fragesteller sollte eine Definition Zeitinvarianz haben.

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