Inhomogene Gleichung

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13.04.2020, 00:19

Baby33

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Inhomogene Gleichung

Hey leute weiss jemand wie ich bei der Aufgabe vorgehen muss ?

13.04.2020, 11:12

Huggy

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RE: Inhomogene Gleichung
Es steht doch genau da, was du machen sollst. Im ersten Schriitt schreibt man die Vorschrift zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} u_{j+1} \end{eqnarray*}$ beim impliziten Euler-Verfahren einfach mal hin. Du musst schon genauer sagen, wo dein Problem liegt.

13.04.2020, 13:38

Baby33

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Was ist in dieser Aufgabe mein t0?

Ist hier das h= 1/2 ?

13.04.2020, 13:43

Huggy

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Zitat:

Original von Baby33
Was ist in dieser Aufgabe mein t0?

Es ist $\begin{eqnarray*} t_0=0 \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} y(0) \end{eqnarray*}$ als Anfangswert gegeben ist.

Zitat:

Ist hier das h= 1/2 ?

Ja.

13.04.2020, 14:14

Baby33

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t0 = 0
k= 0
y1 = y0 + 1/2 * f( t1 + y1)

Ist die Formel so richtig angewendet von wiki?

Ich habe aber y1 nicht hmmm

13.04.2020, 14:26

Huggy

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Zitat:

Original von Baby33
y1 = y0 + 1/2 * f( t1 + y1)

Das ist nicht ganz richtig. Ist aber vielleicht nur ein Schreibfehler. Richtig wäre statt + in der Funktion ein Komma.

$\begin{eqnarray*} y_1 = y_0 + \frac 1 2 f( t_1, y_1) \end{eqnarray*}$

Du solltest aber nicht mit einem speziellen Index anfangen, sondern die Vorschrift erst mal allgemein benutzen und am besten zunächst auch $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ als Variable stehen lassen. Die hast dir ja aus der Wiki geholt. Im nächsten Schritt setzt du in diese Vorschrift die in der Aufgabe gegebene Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein.

13.04.2020, 14:31

Baby33

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t1 = t0+k*h = 1/2

Aber ich habe doch y1 nicht zum einsetzen ?

13.04.2020, 14:38

Huggy

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Mach doch mal das, was ich dir sage und nicht etwas anderes. Sezte in

$\begin{eqnarray*} y_{k+1} = y_k + h f( t_{k+1}, y_{k+1}) \end{eqnarray*}$

die in der Aufgabe gegebene Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein. Es wird sonst noch gar nichts eingesetzt.

13.04.2020, 14:48

Baby33

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y1 = y0 + h * (t1^2*y1 +t1+1)

y1 = 1+ 1/2* (t1^2*y1 +t1+1)

Wäre das jetzt so besser ?

13.04.2020, 14:58

Huggy

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Zitat:

Original von Baby33
Wäre das jetzt so besser ?

Ein wenig, aber immer noch nicht ganz. Ich sagte, du sollst noch keinen speziellen Index nehmen und prompt nimmst du wieder ein. Was jetzt dastehen sollte, ist:

$\begin{eqnarray*} y_{k+1} = y_k + h f( t_{k+1}, y_{k+1})=y_k+h(t_{k+1}^2y_{k+1}+t_{k+1}+1) \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt eine Gleichung für $\begin{eqnarray*} y_{k+1} \end{eqnarray*}$ und die löst du nach $\begin{eqnarray*} y_{k+1} \end{eqnarray*}$ auf. Das steht alles schon so in der Aufgabe.

13.04.2020, 15:05

Baby33

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Warum steht plötzlich wo das yk auf der linken Seite steht ,plötzlich yk+1 nach dem Gleichheitszeichen?

Da stehen ja jetzt dann yk+1 2 mal ?

13.04.2020, 15:10

Huggy

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Gut aufgepasst. Freude

Das war ein Schreibfehler. Ich habe ihn oben korrigiert. Aber $\begin{eqnarray*} y_{k+1} \end{eqnarray*}$ steht nach wie vor auf beiden Seiten der Gleichung. Die ist jetzt nach $\begin{eqnarray*} y_{k+1} \end{eqnarray*}$ aufzulösen.

13.04.2020, 15:22

Baby33

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$\begin{eqnarray*} y_{k+1} =y_k+h*t_{k+1}^2y_{k+1}+h*t_{k+1}+h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{k+1} -h*t_{k+1}^2y_{k+1}=y_k+h*t_{k+1}+h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{k+1}*(1 -h*t_{k+1}^2)=y_k+h*t_{k+1}+h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{k+1} =\frac{ y_k+h*t_{k+1}+h}{(1 -h*t_{k+1}^2)} \end{eqnarray*}$

Das ist es ?
Was soll ich jetzt machen ?

13.04.2020, 15:28

Huggy

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Jetzt hast du den ersten Teil der Aufgabe "Leiten Sie … eine explizite Formel … her." gelöst.
Jetzt kannst du das machen, was du schon immer wolltest. Setze der Reihe nach $\begin{eqnarray*} k=0,1,2 \end{eqnarray*}$ in die Formel ein und rechne so $\begin{eqnarray*} y_1, y_2,y_3 \end{eqnarray*}$ aus.

13.04.2020, 17:43

Baby33

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k = 0

y1 = 2

k=1

y2 =6

k=2

t2 = t0 +2*1/2 = 1

$\begin{eqnarray*} y_{3} =\frac{ 6+0.5*3/2+0,5}{(1 -0.5*3/2^2)} =-58 \end{eqnarray*}$

Danke

13.04.2020, 17:47

Huggy

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Ist das die ganze Aufgabe? $\begin{eqnarray*} y_3=-58 \end{eqnarray*}$ ist zwar korrekt berechnet, aber im Vergleich zur exakten Lösung völlig falsch.

13.04.2020, 17:50

Baby33

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Nach der Lösung kam das richtige Ergebnis raus ?
Daher dachte ich fertig Big Laugh

Hier die Lösung .
Passt es ?

13.04.2020, 18:10

Huggy

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Wie gesagt, das ist auch völlig korrekt gerechnet. Allerdings ist das Verfahren bei der Schrittweite $\begin{eqnarray*} h=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ gar nicht bis zu der Zeit $\begin{eqnarray*} t=\frac 3 2 \end{eqnarray*}$ anwendbar. Man dividiert ja auf der rechten Seite durch $\begin{eqnarray*} 1-h t_{k+1}^2 \end{eqnarray*}$ . Dieser Term wird Null bei

$\begin{eqnarray*} t=\frac 1 {\sqrt h} \end{eqnarray*}$

Man dividiert dann durch Null, was nicht erlaubt ist. Bei $\begin{eqnarray*} h=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ ist das Verfahren also nur für $\begin{eqnarray*} t<\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ anwendbar und da ist $\begin{eqnarray*} t= \frac 3 2 \end{eqnarray*}$ schon darüber. Die exakte Lösung ist bei dem gegebenen Anfangswert monoton ansteigend. Bei $\begin{eqnarray*} h =\frac 1 4 \end{eqnarray*}$ könnte dagegen das Verfahren bis $\begin{eqnarray*} t<2 \end{eqnarray*}$ anwenden.

Ich hätte gedacht, der Aufgabensteller wollte demonstrieren, dass so etwas passieren kann. Es kann aber natürlich auch sein, dass er das übersehen hat.

13.04.2020, 18:27

Baby33

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OK danke.
Hast du zu meiner neuen Aufgabe Ideen ?

13.04.2020, 18:53

Huggy

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Mit dieser etwas tiefergehenden Thematik bin ich nicht vertraut. Schon bei einigen Begriffen müsste ich raten, was sie bedeuten. Vielleicht hilft jemand anders.

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Inhomogene Gleichung

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