Wer geht wo?

13.04.2020, 10:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer geht wo? Eine hübsche kleine Aufgabe aus der Geometrie, mit dynamischer Geometrie schön anzuschauen. Mit oder ohne Beweis, wie jeder mag. $\begin{align} AB \end{align}$ sei eine feste Sehne in einem Kreis, der Punkt $\begin{align} C \end{align}$ bewege sich über den Kreis. Auf welchen Kurven bewegen sich dann Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt und Inkreismittelpunkt des Dreiecks $\begin{align} ABC \end{align}$ ? Und was für ein merkwürdiges Spiel treiben da eigentlich die Ankreismittelpunkte? Na ja, gut! Es bleibt ja in der Familie.
13.04.2020, 11:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ein hübsches "Osterei". Frohe Ostern, mach so weiter und bleib gesund.
13.04.2020, 21:41	quadrierer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer geht wo? Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt bewegen sich auf Kreis-Kurven. Der Innenkreismittelpunkt bewegt sich rechts bzw. links von AB auf einem Kreisbogen durch A un B mit einem Mittelpunkt auf dem Umkreis und auf der linken bzw. rechten Seite von AB. Auch die Seitenmittelpunkte von CB und AB bewegen sich auf Kreis-Kurven. Ich hab keine Ahnung was die Ankreismittelpunkte da treiben?
13.04.2020, 22:49	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer geht wo? Hallo Leopold, ich habe eine Zeichnung dazu angefertigt. Fürs erste habe ich mich auf die Wanderung des Schwerpunktes beschränkt. Also der Punkt $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ soll auf dem Umkreis wandern und dabei soll sich der Schwerpunkt $\begin{eqnarray} M_S \end{eqnarray}$ auf dem blauen Kreis bewegen. [attach]50987[/attach] Die Koordinaten der Eckpunkte seien: $\begin{eqnarray} A(x_a,y_a),\; B(x_b,y_b),\; C(x_c,y_c) \end{eqnarray}$ Dann ist der Schwerpunkt $\begin{eqnarray} M(x,y) \end{eqnarray}$ des Dreiecks gegeben durch $\begin{eqnarray} x=\frac{x_a+x_b+x_c}{3},\quad y=\frac{y_a+y_b+y_c}3 \end{eqnarray}$ Umstellen nach den Koordianten von Punkt C $\begin{eqnarray} x_c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_c \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x_c=3x-x_a-x_b,\quad y_c=3y-y_a-y_b \end{eqnarray}$ Dieser bewegt sich auf dem Umkreis des Dreiecks $\begin{eqnarray} x_c^2+y_c^2=R^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(x-\frac{x_a+x_b}3\right)^2+\left(y-\frac{y_a+y_b}3\right)^2=\left(\frac R3\right)^2 \end{eqnarray}$ D.h. der Schwerpunkt des Dreiecks bewegt sich auf einem Kreis, der ein Drittel so groß ist wie der Umkreis, mit einem Mittelpunkt, der ausgehend von der Seitenmitte von c (Punkt D) um ein Drittel Richtung Umkreismitte M verschoben ist.

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