Inklusionen mit Satz von Rouche

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Phasma Auf diesen Beitrag antworten »
Inklusionen mit Satz von Rouche
Hallo!
In dem anderen Thread hatte Elvis vorgeschlagen, zur Vorbereitung auf das Staatsexamen nächstes Frühjahr jeden Tag eine Aufgabe zu posten und gemeinsam mit den Experten im Forum zu lösen. Die Idee finde ich klasse, daher hier die erste Aufgabe. Ich bin noch ziemlich am Anfang mit dem Lernen und habe momentan große Schwierigkeiten mit den Aufgaben, aber ich hoffe im Laufe der Zeit besser zu werden.

In dieser Aufgabe bezeichne für und . Ferner sei durch gegeben.

a) Formulieren Sie den Satz von Rouché für ganze Funktionen.
b) Zeigen Sie, dass gilt.
Hinweis: Für den Nachweis der ersten Inklusion könnte der in (a) formulierte Satz hilfreich sein.
c) Entscheiden Sie mit Beweis, ob gilt.

Meine Ideen:

a) Den Satz von Rouché kannte ich noch nicht, auch in der Fkt.theorie-Vorlesung hatten wir ihn nicht behandelt. Auf Wikipedia habe ich die folgende Version gefunden:
Seien zwei auf dem Gebiet holomorphe Funktionen. Außerdem sei die Kreisscheibe samt ihrem Rand in enthalten und für alle Punkte gelte: .
Dann haben die Funktionen und gleich viele Nullstellen (entsprechend der Vielfachheit gezählt) auf .

( ist hier die Schreibweise für die offene Kreisscheibe, in der Aufgabenstellung ist die Notation in der Form benutzt worden.)

b) Ich habe versucht, den Satz von Rouché anzuwenden:
Ich wähle (h statt f, weil f ja schon vergeben ist) und . Für alle Punkte gilt: . Also gilt für alle, dass ist. Wir können also den Satz von Rouché anwenden, d.h. hat (mit Vielfachheit gezählt) 6 Nullstellen auf , da auch genau 6 Nullstellen hat.

Leider sehe ich aber noch nicht, wie mir das hilft, die Inklusion in der Aufgabe zu beweisen... Ich weiß einfach nicht, wo da der Zusammenhang ist. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

heißt doch, daß jedes im Bild des Einheitskreises unter liegt. Oder anders gesagt: Für mit besitzt die Gleichung



Lösungen mit . Und jetzt kannst du es fast so machen, wie du es bereits versucht hast: und .

Mit der Euklid-Datei im Anhang kannst du das Bild von unter beobachten, wenn durch die komplexe Ebene wandert.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

(b) würde ich elementar geometrisch angehen. Eine Potenz bildet den Einheitskreis auf sich selbst ab, also 6z^6 auf den Kreis um 0 mit Radius 6, davon zieht man den Kreis um 0 mit Radius 2 ab und verschiebt das ganze Gebilde um 1 nach rechts. Soll der Satz von Rouche nur verwirren?
(c) sollte nicht danach auch nicht mehr schwer sein.
Phasma Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Rückmeldung! Da war ich wohl auf der falschen Fährte. Neuer Anlauf:

Sei beliebig. Wir wollen zeigen, dass dann auch in liegt, also dass die Gleichung mit Lösungen besitzt.
Umformen ergibt . Jetzt setzen wir und und schätzen ab:

für , wobei wir die Dreiecksungleichung benutzt haben und die Tatsache, dass .

Also können wir den Satz von Rouché anwenden, und hat 6 Nullstellen. Also ist , und damit .

Ist das so richtig?

Mein Versuch zur anderen Inklusion:

Sei . Dann gilt:

,

also muss gelten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
(b) würde ich elementar geometrisch angehen. Eine Potenz bildet den Einheitskreis auf sich selbst ab ...


Einverstanden.

Zitat:
Original von Elvis
… also 6z^6 auf den Kreis um 0 mit Radius 6 ...


Leuchtet ein.

Zitat:
Original von Elvis
… davon zieht man den Kreis um 0 mit Radius 2 ab ...


Das ist ein gewagter Schluß. Denn die Operation ist keine simple Verkettung.

Zitat:
Original von Elvis
… und verschiebt das ganze Gebilde um 1 nach rechts.


Das würde wieder gehen.


@ Pha(nta)sma

Ich sehe keinen Fehler in deiner Argumentation.
Phasma Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold für die Rückmeldung. Inzwischen habe ich mir auch deine Euklid-Veranschaulichung angeschaut, danke dafür!
Danke auch Elvis für die Idee mit der geometrischen Herangehensweise. Allerdings hat deine Argumentation für mich zuerst ein bisschen so geklungen, als ob wäre, und das stimmt eindeutig nicht mit der Animation überein. Aber du hast es wahrscheinlich anders gemeint, dass wenn man vom Kreis um 1 mit Radius 6 den Term mit abzieht, man nie über den Rand von bzw. "herauskommen" kann?!

Mein Versuch zu c):

ist doch das offene Intervall . Wenn ich jetzt mit abschätze:

, da und .

Daher muss die Aussage falsch sein, denn in ist beispielsweise enthalten, da ja in liegt.

Stimmt das so?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

(b) Du hast meine Absicht völlig richtig verstanden. Leopold hat darüber hinaus meinen Denkfehler aufgedeckt, seine Geometrie und deine Rechnung sind besser als das, was ich verschludert habe. Siehe meinen murks. Hammer
(c) perfekt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vor wenigen Tagen habe ich mir dieses Büchlein aus dem Jahre 1962 bestellt. Das Inhaltsverzeichnis sieht sehr interessant aus, und vielleicht mache ich dann zukünftig weniger Unsinn.
Phasma Auf diesen Beitrag antworten »

Prima, danke Elvis und Leopold, damit wäre diese Aufgabe gelöst. Schönen Abend smile
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja merkwürdig, irgendwo zwischen Geburtstagsparadoxon und Kleine-Welt-Phänomen. Diese Formel, die ich am Samstag benutzt habe, wurde in der Form auch von Hans Schwerdtfeger gefunden. Das kommt mir jetzt irgendwie vor wie die Tscheljabinsk-Duende-Koinzidenz 2013.
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