Menge aller gebrochenen Zahlen

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ElinaLily Auf diesen Beitrag antworten »
Menge aller gebrochenen Zahlen
B/Q wird allgemein ja allgemein als Menge der rationalen Zahlen bezeichnet.
(auch Menge aller Bruchzahle)

Meines wissens nach gehören zur Menge
B/Q= alle ganzen/natürlichen Zahlen, Bruchzahle und
Dezimalzahlen(Kommazahlen)

Ich habe mir aber gerade das Video
Rationale Zahlen von MathemaTrick auf Youtube angesehen.
Darin heißt es aber, das nur rein periodische und gemischt Periodische Detimaldarstellungen zu dem n rationalen Zahlen gehören.

Abbrechende Dezimaldarstellungen aber NICHT.

Meine Frage:
Man kann abbrechende Dezimaldarstellungen doch auf und abrunden.
Außerdem heißt es doch auf vielen Seiten Menge aller gebrochenen Zahlen?
G130420 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge ALLER gebrochenen Zahlen
Die rationalen Zahlen werden auch Bruchzahlen genannt oder kurz Brüche, insbesondere in der Schulmathematik.
ElinaLily Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich auch gelesen.
Laut dem Video zählen aber abbrechende Brüche/Dezimaldarstellungen nicht dazu?
Z.b.
gehören dazu
gemischt periodisch: 1/6= 1,6
rein periodisch: 1/7= 0,142957...
gehören NICHT dazu
abbrechende Darstellung: 18/120= 0,15
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sprecherin im Video rudert hin und her, und am Ende fragt man sich: Was sind jetzt eigentlich rationale Zahlen? Sie sagt zwar nichts wirklich Falsches, kommt aber nicht auf den Punkt. Und das hat dich verwirrt. Dabei ist es so einfach:

Alle Zahlen, die man als Brüche mit ganzzahligem Zähler und Nenner schreiben kann, und nur diese, heißen rationale Zahlen.

Wichtig ist das Wörtchen "kann", es kommt also nicht auf die Zahldarstellung an, sondern auf die Möglichkeit der Bruchschreibweise. Ich habe ein bißchen das Gefühl, daß du Zahl und Zahldarstellung verwechselst. So sind zum Beispiel 0,5 und 1/2 zwei Zahldarstellungen, aber sie beschreiben dieselbe Zahl. Es sind sozusagen nur zwei verschiedene Namen für dieselbe Zahl.

Merke: Namen für Zahlen und die Zahlen selbst nicht verwechseln.

Ist nun 0,5 eine rationale Zahl? Ja, weil man sie als Bruch schreiben kann, zum Beispiel



In der letzten Zeile beschreiben alle Zahldarstellungen dieselbe Zahl, auch in der nächsten:



Weil man 2 als Bruch schreiben kann (die einfachste Möglichkeit wäre natürlich gewesen), ist auch 2 eine rationale Zahl.



Also ist auch -9 eine rationale Zahl.



Also ist auch eine rationale Zahl.

Und Zahlen, die von vorneherein als Bruch geschrieben sind, sind nach der Beschreibung oben sowieso rationale Zahlen: -14/9, 25/12, 131/54, ...

Man kann begründen, daß man alle abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen als Brüche mit ganzzahligem Zähler und Nenner schreiben kann. Also sind das alles rationale Zahlen.

Ob du Zahlen, die nicht rational sind, schon kennst, weiß ich nicht. Das sind solche Ungetümer wie . Die kann man tatsächlich nicht mehr als Brüche schreiben.
ElinaLily Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Leopold!
Ich habe es endlich verstanden Freude
In dem Video hat mich anfangs vor allem das was die Sprecherin über abbrechende Dezimaldarstellungen gesagt hat verwirrt.
Hannah nochmal Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller gebrochenen Zahlen
Alle Zahlen, die man als Brüche mit ganzzahligem Zähler und Nenner schreiben kann, ...

Was meinst du mit ganzzahlihem Zähler?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hannah nochmal
Was meinst du mit ganzzahligem Zähler?

Das bedeutet nur, dass in dem Quotienten der Zähler eine ganze Zahl sein soll.

Gewöhnlich (so zumindest meine Auffassung) bezeichnet man einen solchen Quotienten auch nur dann als "Bruch", wenn beide Werte auch tatsächlich ganze Zahlen sind. In dem Fall wäre die Forderung "ganzzahliger Zähler" an sich redundant, es ist dann eher so zu verstehen

Quotient mit ganzzahligen Zähler und Nenner = Bruch
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nenner sollte natürlich sein, damit die Division durch 0 ausgeschlossen ist. Oder Zähler und Nenner ganzzahlig, Nenner ungleich 0.
Hannah nochmal Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.

P.s. abbrechende Dezimaldarstellungen gehören so weit ich verstanden habe 'definitiv' auch zu Q !?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Es gibt auch eine (relativ) einfache Charakterierung vollständig gekürzter Brüche , welche abbrechende Dezimalbrüche aufweisen:

Das sind genau diejenigen, für die keine Primfaktoren außer 2 und 5 enthält. Also z.B.



mit Nenner im vollständig gekürzten Bruch.


Alle anderen rationalen Zahlen, d.h. solche mit auch anderen Primfaktoren als nur 2 oder 5 im Nenner der unkürzbaren Darstellung, haben nicht abbrechende, aber zumindest doch periodische Dezimalbruchdarstellungen.
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