Rationale Zahlen, inverses Element

13.04.2020, 19:53	Hannah nochmal	Auf diesen Beitrag antworten »
Rationale Zahlen, inverses Element Ich habe bis jetzt die Addition, Subtraktion und Multiplikation von positiven und negativen rationalen Zahlen durchgenommen. Als nächstes kommt die Division. Beim überfliegen des neuen Kapitels habe ich gesehen, dass dort nirgends die Rede von einer Divisionsinverse die Rede ist. In den letzten Kapiteln war nur die Rede von einer Additions inverse die Rede. Gibt es bezüglich der Division und Subtraktion kein inverses? Uns noch etwas: Die.Additions- und Multiplikation inverse wurden nur ganz kurz erwähnt, ohne Aufgabe dazu. In was für einem Zusammenhang/Art von Aufgabe verwendet man ein inverses?
13.04.2020, 20:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
"Invers" heißt umgekehrt. 1. Beim Addieren sind eine Zahl und ihre Gegenzahl invers zueinander. Man erkennt das daran, daß die Summe der beiden Zahlen 0 ist: 3 und -3 sind (additiv) invers zueinander, denn $\begin{align} 3+(-3) = 0 \end{align}$ . -7,6 und 7,6 sind (additiv) invers zueinander, denn $\begin{align} -7,6+7,6 = 0 \end{align}$ . $\begin{align} \frac{2}{3} \end{align}$ und $\begin{align} -\frac{2}{3} \end{align}$ sind (additiv) invers zueinander, denn $\begin{align} \frac{2}{3} + \left( - \frac{2}{3} \right) = 0 \end{align}$ 2 und -7 sind nicht (additiv) invers zueinander, denn $\begin{align} 2+(-7) = -5 \neq 0 \end{align}$ 2. Beim Multiplizieren sind eine Zahl und ihre Kehrzahl invers zueinander ("Kehrzahl" oder auch "Kehrbruch" nicht mit "Gegenzahl" verwechseln). Man erkennt das daran, daß das Produkt der beiden Zahlen 1 ist. 2 und $\begin{align} \frac{1}{2} \end{align}$ sind (multiplikativ) invers zueinander, denn $\begin{align} 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \end{align}$ . 1,25 und 0,8 sind (multiplikativ) invers zueinander, denn $\begin{align} 1{,}25 \cdot 0{,}8 = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1 \end{align}$ -0,75 und $\begin{align} -1{,}\overline{3} \end{align}$ sind (multiplikativ) invers zueinander, denn $\begin{align} (-0{,}75) \cdot 1{,}\overline{3} = \left( - \frac{3}{4} \right) \cdot \left( - \frac{4}{3} \right) = 1 \end{align}$ 1,6 und -0,625 sind nicht (multiplikativ) invers zueinander, denn $\begin{align} 1{,}6 \cdot \left( - 0{,}625 \right) = \frac{8}{5} \cdot \left( - \frac{5}{8} \right) = -1 \neq 1 \end{align}$
14.04.2020, 16:21	Hannah nochmal	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt es gibt sozusagen nur Inverse (die 0 ergeben) für die Addition und Multiplikation. (Das hat doch bei der Addition und Multiplikation was mit dem Kommutativgesetz zu tun?) Bei der Division ist das ganze überhaupt nicht möglich. Und auch nicht bei der Subtraktion, denn z.B. -3-(+3)= (-6) (+3)-(-3)= 6 d.h. es gibt auch keine Schreibweise für Inverse bei der Division und Subtraktion, da ein inverses bei diesen beiden gar nicht möglich ist. Habe ich das so richtig verstanden?
14.04.2020, 16:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du solche Fragen stellst nach einer Subtraktions- bzw. Divisionsinversen, dann musst du doch eine Vorstellung haben, welche Eigenschaften diese Inversen haben sollen. Wenn wir da mal eine Analogie versuchen: Die zu $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gehörende additive Inverse $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} a+x=0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x+a=0 \end{eqnarray}$ erfüllen. Für eine Subtraktionsinverse $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ würde man dann wohl $\begin{eqnarray} a-y=0 \end{eqnarray}$ oder aber $\begin{eqnarray} y-a=0 \end{eqnarray}$ fordern, oder? Das erfüllt nun aber $\begin{eqnarray} y=a \end{eqnarray}$ , d.h., die Subtraktionsinverse ist die Zahl selbst. Ziemlich sinnlos, ihr dann noch einen eigenen Namen zu geben, oder? Dasselbe in Grün dann bei der "Divisionsinversen" $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ definiert über die Eigenschaft $\begin{eqnarray} \frac{z}{a}=1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{a}{z}=1 \end{eqnarray}$ , auch hier ergibt sich $\begin{eqnarray} z=a \end{eqnarray}$ . Zumindest in dieser naheliegenden Analogie-Definition ergibt sich somit, dass die beiden Begriffe Subtraktions- und Divisioninverse ziemlich überflüssig sind. Wenn du eine andere Idee einer Definition dieser Begriffe hast, nur raus damit.

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