Kurventyp gesucht

13.04.2020, 22:08

quadrierer

Kurventyp gesucht

Gegeben ist ein Dreieck ABC, dessen Seiten bzw. auch deren Seitenverlängerung einen Kreis tangieren. Wird die Grösse der Dreieckseite |AB| vergrössert, so verkleinert sich die Dreieck-Seite |AC|. Dabei zeichnet quasi der Schwerpunkt S und auch der Mittelpunkt der Seite CB je eine stetige Kurve bzw. bewegt sich auf einer solchen Kurve.

Was kann über diese Kurven ausgesagt werden?

14.04.2020, 13:39

Leopold

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Strecken vergrößern oder verkleinern geht auf ganz viele Arten. Da ist nicht klar genug beschrieben, was gemeint ist. Ich beschreibe einmal die Variante, die ich für die wahrscheinlichste halte.

Wir haben einen Kreis $\begin{align*} k \end{align*}$ und einen Punkt $\begin{align*} A \end{align*}$ außerhalb des Kreises, beide fest gegeben. Von $\begin{align*} A \end{align*}$ aus werden die Tangenten an $\begin{align*} k \end{align*}$ gelegt. Auf der einen Tangenten wählt man den Punkt $\begin{align*} B \end{align*}$ und zeichnet von diesem aus seine zweite Tangente an den Kreis. Diese schneidet die zweite Tangente von $\begin{align*} A \end{align*}$ in einem Punkt $\begin{align*} C \end{align*}$ .

Ist das so in deinem Sinn?

Jetzt wird gefragt, auf welchen Kurven sich der Schwerpunkt des Dreiecks $\begin{align*} ABC \end{align*}$ und der Mittelpunkt von $\begin{align*} BC \end{align*}$ bewegen, wenn man $\begin{align*} B \end{align*}$ bewegt.

14.04.2020, 18:36

quadrierer

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In meinem beschriebenen Zusammenhang-System gibt es nur ein Dreieck ABC bei dem ein Vergrössern/Verkleinern der Seitengrösse AB lückenlos ein Verkleinern/Vergrössern der Seitengrösse AC bewirkt. Bei dem ähnlichen grösseren Dreieck gibt es hierbei ein Problem. Der Grund ist, für die Lage von B auf dem ersten Tangentenstrahl aus A heraus gibt es eine Lücke, in der dein gedachter zweiter Tangentenstrahl aus B heraus dann keinen Schnittpunkt C mit dem zweiten Tangentenstrahl aus A hat. Bei ausreichend grosser Seite AB gibt es dann auch wieder den Schnittpunkt C.
Die gesuchten Kurven gibt es natürlich für das kleine und auch für das grösse ähnlichere Dreieck.

14.04.2020, 19:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von quadrierer
In meinem beschriebenen Zusammenhang-System

Du meinst in der Leopold-Präzisierung? Weil dein System ist ja wie von ihm richtig festgestellt unvollständig beschrieben.

Zitat:

Original von quadrierer
für die Lage von B auf dem ersten Tangentenstrahl aus A heraus gibt es eine Lücke, in der dein gedachter zweiter Tangentenstrahl aus B heraus dann keinen Schnittpunkt C mit dem zweiten Tangentenstrahl aus A hat.

Auf die Strahlen mag das zutreffen, betrachtet man aber stattdessen die zugehörige Geraden, dann gibt es nur einen Punkt B, wo es keinen Schnittpunkt mit der zweiten A-Tangentengeraden gibt: Nämlich wenn die durch B verlaufende Tangentengerade (d.h. die nicht durch A geht) parallel zur zweiten A-Tangentengeraden ist. Davor (also kleinere AB) treffen sich die bewussten Geraden "hinten", der Ausgangskreis ist dann nicht In- sondern Ankreis von ABC, was aber durch die Aufgabenstellung ja auch noch gedeckt ist.

Die entstehende Kurve sieht nach einer Hyperbel (beide Äste) aus, könnte das aber momentan nur totrechnen. Da hat bestimmt jemand anderes eine bessere Idee, das kurz und elegant zu begründen.

14.04.2020, 20:16

Leopold

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Ich habe das Problem jetzt so interpretiert, wie ich es in meinem vorigen Beitrag beschrieben habe. Die geniale Idee hatte ich nicht, aber dank eines CAS alles fleißig durchgerechnet. Im Anhang eine Euklid-Datei dazu.

Es sei $\begin{align*} \tau \end{align*}$ die Länge des Tangentenabschnitts von $\begin{align*} A \end{align*}$ bis zum Kreis $\begin{align*} k \end{align*}$ und $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ der Kreisradius.

1. Der Mittelpunkt $\begin{align*} M_a \end{align*}$ der Seite $\begin{align*} BC \end{align*}$ bewegt sich auf einer Hyperbel $\begin{align*} h \end{align*}$ :

i) Der Mittelpunkt $\begin{align*} W \end{align*}$ von $\begin{align*} k \end{align*}$ ist der Mittelpunkt von $\begin{align*} h \end{align*}$ .

ii) Die Schnittpunkte der Geraden $\begin{align*} AW \end{align*}$ mit dem Kreis sind die Scheitel $\begin{align*} L,L' \end{align*}$ der Hyperbel.

iii) Also ist $\begin{align*} AW \end{align*}$ die Hauptsymmetrieachse von $\begin{align*} h \end{align*}$ .

iv) Die Brennpunkte von $\begin{align*} h \end{align*}$ sind $\begin{align*} G,G' \end{align*}$ mit

$\begin{align*} \overrightarrow{AG} = \left( 1 + \frac{\varrho}{\tau} \right) \overrightarrow{AW} \, , \quad \overrightarrow{AG'} = \left( 1 - \frac{\varrho}{\tau} \right) \overrightarrow{AW} \end{align*}$

2. Wenn man von $\begin{align*} A \end{align*}$ aus mit dem Faktor $\begin{align*} \frac{2}{3} \end{align*}$ streckt, geht $\begin{align*} M_a \end{align*}$ in $\begin{align*} S \end{align*}$ über. Also ist die Ortskurve der Punkte $\begin{align*} S \end{align*}$ die Hyperbel $\begin{align*} h' \end{align*}$ , die aus $\begin{align*} h \end{align*}$ vermöge dieser Streckung hervorgeht. Die charakterisierenden Daten i), ii), iii), iv) von $\begin{align*} h' \end{align*}$ können mittels dieser Streckung ermittelt werden.

15.04.2020, 13:21

quadrierer

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Das Betrachten und Verstehen der drei Bilder, in dene sich Leopolds Berechnungsergebnisse anschaulich nachvollziehen lassen, erfordert etwas Geduld.

[attach]51008[/attach]
Punkt B befindet sich zwischen Punkt A und besagten Lücke.

[attach]51009[/attach]
Punkt B befindet sich in besagter Lücke und erzeugt keinen keinen Schnittpunkt C.

[attach]51010[/attach]
Punkt B befindet sich von Punkt A aus nach der besagten Lücke.

15.04.2020, 13:49

HAL 9000

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Was willst du uns durch diese ständige Wiederholung sagen? Dann gibt es eben für diesen einen Punkt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ (der zu den parallelen Tangenten führt, wie ich oben beschrieben habe) kein passendes Dreieck, was völlig ohne Belang ist.

Deine Skizzen finde ich höchst fragwürdig: Zu festem $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bzw. Kreis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gehören zwei Hyperbeläste, die beide den Kreis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ berühren, und zwar dort, wo die Gerade $\begin{eqnarray*} AW \end{eqnarray*}$ (Leopolds Bezeichnungen) den Kreis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ schneidet. Die eine deiner beiden gestrichelten Kurven tut das, die andere nicht. Damit gehören beide gestrichelten Äste offenkundig NICHT zu derselben $\begin{eqnarray*} A,k \end{eqnarray*}$ -Konstellation, was man bei gleicher Strichelung und Farbgebung ja EIGENTLICH erwartet hätte... unglücklich

15.04.2020, 13:53

Leopold

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Warum ist in deinen Bildern die linke Hyperbelhälfte, auf der $\begin{align*} M_a \end{align*}$ wandert, durchgezogen gezeichnet, die rechte dagegen dick rot gestrichelt? Entsprechendes gilt für die zweite Hyperbel. So etwas ist inkonsequent und kann schnell zu Fehlinterpretationen führen. Alle geometrischen Objekte, die nicht unmittelbar zum Verständnis und zur Erklärung dienen, sollten aus Bildern entfernt werden. Dafür bieten doch die modernen Programme die Möglichkeit des Versteckens. Weniger ist mehr. Viel mehr.

EDIT @ HAL
Wenn uns gelegentlich auch einiges trennt, so sind wir offenbar in Bezug auf den didaktischen Wert von Zeichnungen einig.

15.04.2020, 19:36

quadrierer

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@ HAL

Auf der linken Seite beim kleinen Dreieck bewegen sich Schwerpunkt und Seitenmitte von BC bzw. B'C' auf Hyperbelästen mit durchgezogenen Linien. Beim gossen Dreieck bewegen sich Schwerpunkt und Seitenmitte von BC bzw. B'C' auf Hyperbelästen mit gestrichelten Linien. Der bewegte Punkt B erzeugt gleichzeitig die Bewegungen auf beiden Paaren der Hyperbeläste für das kleine und das grosse ähnliche Dreieck.
Es ist auch gut zu erkennen. dass die Hyperbeläste für die Seitenmitte, links rot durchgezogen und rechts rot gestrichelt den gegebenen Kreis diametral berühren.

@ Leopold

Leider sorgt der von meinem DGS-Programm jeweils erzeugte zweite Hyperbelast, auf dem nichts stattfindet, etwas für Verwirrung. Bei Geogebra kenne ich keine einfache Möglichkeit den hier unerwünschten zweite Hyperlast unsichtbar zu machen. Weniger wäre hier tatsächlich mehr.

15.04.2020, 20:55

Leopold

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Wenn du dir einmal die Euklid-Datei meines vorvorigen Beitrags ansiehst, erkennst du, daß alle Hyperbeläste bedient werden, wenn man an $\begin{align*} B \end{align*}$ zieht. Man muß sich nur trauen, $\begin{align*} B \end{align*}$ überall auf seiner Trägergeraden hinzuschicken.

16.04.2020, 11:34

quadrierer

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Leider kann ich deine .geo-Datei mit meinem Mac nicht öffnen. Ein .jpeg, .png- oder auch .gif-Bild kann ich anschauen. Es wäre nett, wenn du dir die Mühe machst, eine solches Bild rein zu stellen.

16.04.2020, 11:58

Leopold

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[attach]51019[/attach]

[attach]51020[/attach]

[attach]51021[/attach]

[attach]51022[/attach]

16.04.2020, 12:05

Elvis

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Vielen Dank an quadrierer und Leopold. Es geht doch nichts über die klare Aussagekraft von Bildern. Big Laugh