Biholomorphe Abbildungen gesucht

14.04.2020, 09:46

Phasma

Biholomorphe Abbildungen gesucht

Es sei $\begin{eqnarray*} Q:=\left\{ z \in \mathbb C|Re(z)<0 \space und \space Im(z)>0 \right\} \end{eqnarray*}$ der offene zweite Quadrant der komplexen Zahlenebene. Bestimmen Sie mit Begründung alle Abbildungen $\begin{eqnarray*} f:Q \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ biholomorph auf die offene Einheitsscheibe $\begin{eqnarray*} \mathbb E:=\left\{ z \in \mathbb C||z|<1\right\} \end{eqnarray*}$ abbilden mit $\begin{eqnarray*} f(-1+i)=0 \end{eqnarray*}$ .

Mit dieser Aufgabe komme ich leider noch gar nicht zurecht. Biholomorphe Abbildungen sind bijektive und holomorphe Abbildungen. Aber davon gibt es ja viele. Wie finde ich gerade die, die $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ auf die offene Einheitsscheibe abbilden? Ich kenne auch keinen Satz, der mir da direkt weiterhelfen würde... Wie geht man an diese Aufgabe heran?

14.04.2020, 11:17

Elvis

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Der Riemannsche Abbildungssatz sagt, dass sich jedes einfach zusammenhängende Gebiet $\begin{eqnarray*} G\subsetneq \mathbb C \end{eqnarray*}$ biholomorph auf die offene Einheitskreisscheibe $\begin{eqnarray*} \mathbb E \end{eqnarray*}$ abbilden lässt.

Konkret kann man hier den offenen Quadranten auf eine offene Halbebene und diese dann durch die Cayley-Abbildung auf die offene Kreisscheibe abbilden. Wie man alle derartigen Abbildungen findet, muss man sich noch überlegen (d.h. ich weiß es auch noch nicht). Die Zusatzbedingung $\begin{eqnarray*} f(-1+i)=0 \end{eqnarray*}$ habe ich auch noch nicht bedacht.

14.04.2020, 12:50

Phasma

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Danke für die Ideen. Also den zweiten Quadranten könnte man doch mit der Abbildung

$\begin{eqnarray*} g(z)=z^2 \end{eqnarray*}$

auf die untere Halbebene abbilden, weil ja dabei die Winkel "verdoppelt" werden, oder?

Zur Cayley-Abbildung habe ich nachgelesen, dass sie die obere Halbebene auf die offene Kreisscheibe abbildet. Vielleicht kann man ja so etwas ähnliches für die untere Halbebene finden? Geht so etwas nicht mit Möbius-Transformationen? Wie kommt man denn auf die richtige Transformation?

14.04.2020, 13:30

Elvis

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$\begin{eqnarray*} z\mapsto w=z^2\mapsto \overline w \end{eqnarray*}$ , und schon bist du bei der oberen Halbebene.

(Mit EUKLID DynaGeo lassen sich nach der Leopoldschen Methode die anschaulichsten Bilder konstruieren.)

14.04.2020, 14:16

Elvis

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Um den einen Punkt aus dem 2. Quadranten auf den Nullpunkt abzubilden könnte man eine zentrische "Streckung" mit Faktor <1 vorschalten. Also $\begin{eqnarray*} z\mapsto \alpha z\mapsto w=(\alpha z)^2\mapsto \overline w\mapsto Cayley(\overline w). \end{eqnarray*}$

14.04.2020, 14:28

Phasma

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Okay, also hätten wir doch drei Abbildungen

$\begin{eqnarray*} f_1(z)=z^2 \end{eqnarray*}$ (2. Quadrant auf untere Halbebene)

$\begin{eqnarray*} f_2(z)=\bar {z} \end{eqnarray*}$ (untere Halbebene auf obere Halbebene)

$\begin{eqnarray*} f_3(z)=\frac{z-i}{z+i} \end{eqnarray*}$ (Cayley-Abbildung; obere Halbebene auf Einheitsscheibe).

Wenn wir die jetzt verketten, kommen wir auf

$\begin{eqnarray*} f=f_3 \circ f_2 \circ f_1=\frac{\bar {z^2}-i}{\bar {z^2}+i} \end{eqnarray*}$ .

Macht das soweit Sinn?

Leider kann das noch nicht unsere gesuchte Funktion sein, weil $\begin{eqnarray*} f(-1+i)=\frac {1}{3} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ...

Dein Bild verstehe ich leider nicht. Was soll es darstellen?

EDIT: Deinen letzten Beitrag hatte ich noch nicht gesehen. Ich überlege noch einmal, ob ich einen geeigneten Streckungsfaktor finde, der das Problem mit der Nullstelle löst.

14.04.2020, 14:47

Phasma

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Also nach meiner Rechnung wäre dann $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ ein geeigneter Streckungsfaktor.

Ist also

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{\frac{1}{2}\bar {z^2}-i}{\frac{1}{2}\bar {z^2}+i} \end{eqnarray*}$

eine gesuchte Abbildung?

14.04.2020, 15:19

Huggy

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} z\mapsto w=z^2\mapsto \overline w \end{eqnarray*}$ , und schon bist du bei der oberen Halbebene.

Die komplexe Konjugation ist keine holomorphe Abbildung.

14.04.2020, 15:35

Elvis

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@Huggy
Pech gehabt, dann ersetzen wir sie durch eine Drehung um 180°. Geht das?
@Phasma
Das Bild zeigt die Variablen z, w und den durch Cayley abgebildeten Punkt w konjugiert D im Einheitskreis . In den Kästchen steht, wie man deren Koordinaten berechnen kann.

14.04.2020, 16:23

Phasma

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Danke Huggy für den Hinweis!

Also nehmen wir eine Drehung um 180°. Drehungen sind holomorph. Also haben wir die folgenden Abbildungen:

$\begin{eqnarray*} f_1(z)=\left( \frac{1}{\sqrt{2}}z \right)^2 \end{eqnarray*}$ (2. Quadrant auf untere Halbebene)

$\begin{eqnarray*} f_2(z)=-z \end{eqnarray*}$ (Drehung um 180°)

$\begin{eqnarray*} f_3(z)=\frac{z-i}{z+i} \end{eqnarray*}$ (Cayley-Abbildung)

und damit

$\begin{eqnarray*} f=f_3 \circ f_2 \circ f_1 = \frac{-\frac{1}{2}z^2-i}{-\frac{1}{2}z^2+i}=\frac{-z^2-2i}{-z^2+2i} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(-1+i)=0 \end{eqnarray*}$ .

Ist das so richtig?

Das ist ja jetzt erstmal eine Abbildung mit der gesuchten Eigenschaft. Gibt es denn noch weitere bzw. wie erhalte ich diese?

14.04.2020, 16:51

Huggy

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Zitat:

Original von Phasma
Das ist ja jetzt erstmal eine Abbildung mit der gesuchten Eigenschaft. Gibt es denn noch weitere bzw. wie erhalte ich diese?

Mit aller Vorsicht, da ich mit der Materie nicht besonders vertraut bin: $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ ist eine Möbiustransformation. Möbiustransformationen sind durch 3 Punkte und ihre Bildpunkte definiert. Ein Punkt und sein Bildpunkt ist in der Aufgabe gegeben. Wenn man nun nach dem Quadrieren und Drehen noch zwei beliebige Punkte auf der reellen Achse auf zwei beliebige Punkte des Einheitskreises abbildet, ist dadurch eine Möbiustransformation definiert, die die geforderten Eigenschaften hat oder?

Die Drehung könnte man sich dann auch sparen, denn das ist auch eine Möbiustransformation. Falls das stimmt, bleibt die Frage, ob man damit alle Abbildungen mit der geforderten Eigenschaft gefunden hat?

14.04.2020, 17:52

Elvis

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Was man nun mit $\begin{eqnarray*} \mathbb E=B_1(0) \end{eqnarray*}$ holomorph macht, nachdem man eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gefunden hat, ist doch eigentlich egal. Kann es sein, dass die gesuchte Menge gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} M=\{g\circ f|g:\mathbb E\to \mathbb E\, hol.,g(0)=0 \} \end{eqnarray*}$ . Wenn ja, wie sonst charakterisiert man diese Menge ?

Nachtrag: Es gibt schon jemanden, der darüber nachgedacht hat ( https://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/fun/fun-07.pdf ). Insbesondere Satz 5. smile

14.04.2020, 19:23

Phasma

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Ok, danke Elvis, das habe ich verstanden.

Eine Frage noch: Was könnte ich bei der Lösung dieser Aufgabe im Staatsexamen voraussetzen? Müsste man z.B. beweisen, dass die Cayley-Abbildung wirklich die obere Halbebene in die Einheitskreisscheibe abbildet, oder kann man das voraussetzen?
Oder müsste man nochmal nachweisen, dass die verwendeten Abbildungen tatsächlich alle biholomorph sind und dann auch die Verkettung biholomorph ist? Wie ausführlich müsste man da werden?

14.04.2020, 20:02

Elvis

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Die grundlegende Theorie ist der Riemannsche Abbildungssatz, er gibt uns die Sicherheit, dass eine Lösung für jedes Gebiet existiert. Die Cayleytransformation ist ein Beispiel, das man kennen muss und voraussetzen kann, um die obere Halbebene auf den Einheitskreis abzubilden. Der Rest war ein bißchen Trickserei (wobei ich mich auch vertan habe und (DANKE) von Huggy korrigiert wurde), und dabei hast du auch gut mitgespielt. Dann sind weitere Kenntnisse über Möbiustransformationen immer gut.

Meine Meinung: Alles was man weiß und mit Namen kennt darf man benutzen. Bei der Lösung von Aufgaben muss es aus Zeitgründen genügen, die Zutaten zu nennen. Die Zeit und die eigenen Fähigkeiten reichen nicht aus um jedes mal bei Adam und Eva anzufangen und alles zu beweisen.

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