Flächenberechnung nicht konzentrischer Kreise mit der Sektorenformel

14.04.2020, 20:02	Thomas1812	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenberechnung nicht konzentrischer Kreise mit der Sektorenformel Meine Frage: Hallo, ich versuche folgendes Problem zu lösen. Es geht um die Berechnung von Kreisringsegmenten, wobei der innere Ring einen Versatz aus der Mitte hat. R=4.55 mm (Mittelpunkt x=0; y=0) r=3.202 mm (Mittelpunkt x=0.075; y=0) Berechnet werden sollen die Flächen der Kreisringsegmente (z.B.immer in 15 ° Segmenten) Ich habe das Ganze bereits in ACAD gezeichnet und kann mir die Flächen ausmessen, jedoch hätte ich lieber eine rechnerische Lösung, da ich für den Anwendungsfall etwas experimentieren muss(Durchmesser und Winkel,) und dann nicht ständig die Flächen neu vermessen möchte. Meine Ideen: Mein Berechnungsansatz war, Parameterdarstellung des Kreises und Integration nach Sektorenformel (Leibnitz). Möglich, dass es elegantere Lösung gibt, mir ist aber nichts Besseres eingefallen. Problem: Wenn ich zum Testen das Ganze ohne Mittelpunktverschiebung des inneren Kreises rechne, kommen exakt die richtigen Werte raus. Sobald ich die Mittelpunkverschiebung (0.075mm) berücksichtige, wird zwar die Gesamtfläche (aus der Summe der Teilflächen richtig berechnet, aber die Teilflächen passen nicht so ganz. Ich würde gerne wissen wo mein Fehler liegt, ob es totaler Bullshit ist, was ich da treibe oder ob es für den speziellen Anwendungsfall eine elegantere Lösung gibt. Vorab schon einmal vielen Dank für euer Bemühen Ein Screenshot ist anbei.
15.04.2020, 09:52	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den inneren, kleinen Kreis hast du eine falsche Parameterdarstellung verwendet. Die Parameterdarstellung des äußeren Kreises mit dem Radius R und dem Mittelpunkt (0;0) ist trivial: $\begin{eqnarray} X(\phi)=R\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y(\phi)=R\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray}$ Die Parameterdarstellung des inneren Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt $\begin{eqnarray} (x_0;0) \end{eqnarray}$ ist komplizierter, weil der Mittelpunkt nicht im Ursprung liegt. Mittels Schulmathematik kommt man auf folgende Parameterdarstellung: $\begin{eqnarray} x(\phi)=\cos(\phi) \cdot \left [ x_0\cdot \cos(\phi)+\sqrt{r^2-x_0^2\cdot \sin^2(\phi)}\right ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(\phi)=\sin(\phi) \cdot \left [ x_0\cdot \cos(\phi)+\sqrt{r^2-x_0^2\cdot \sin^2(\phi)}\right ] \end{eqnarray}$ Mit diesen Parameterdarstellugen kannst du mittels Sektorformel für beide Kreise die Flächeninhalte beliebiger "Tortenstücke" im Intervall $\begin{eqnarray} [\phi_1;\phi_2] \end{eqnarray}$ berechnen und danach beide Flächen subtrahieren. Es kann sein, dass das Integral für den inneren Kreis ziemlich kompliziert wird.
15.04.2020, 10:18	Thomas1812	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst erst einmal Vielen Dank für den Tipp. Leider hänge ich gerade bei der Umsetzung total. Sorry aber so etwas habe ich das letzte mal vor 25 Jahren gemacht und da gehen doch einige Grundlagen verloren. Also seid bitte etwas nachsichtig mit mir :-) Muss ich bereits für die Parameterdarstellung in y: Y=r(phi)*sin(t) verwenden? Für die Ableitung, muss ich nach t und phi ableiten? Muss ich den inneren Kreis 2 mal integrieren ? dt d Phi ? Meine bisherige Lösung konnte ich gut mit meinem alten Mathebuch lösen, jetzt zeigen sich aber meine Lücken. :-(
15.04.2020, 12:07	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Parameterdarstellungen oben eingefügt..
15.04.2020, 15:42	Thomas1812	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ehos, mit deinem Ansatz habe ich es auf Anhieb hinbekommen. Und verstanden habe ich es auch. Herzlichen Dank Thomas

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