Integration mit Substitution

15.04.2020, 04:06	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration mit Substitution Meine Frage: Aufgrund des Coronavirus muss ich mir Integration nun selber beibringen. Beim Integral $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{x-x^{2}} \, dx \end{eqnarray}$ steht empfiehlt WolframAlpha nach quadratischer Ergänzung die Substitution $\begin{eqnarray} u=\frac{sin(s)}{2} \end{eqnarray}$ Der weitere Verlauf ist mir klar ersichtlich. Allerdings wäre ich niemals auf besagte Substitution gekommen. Woran erkennt man, dass man solch eine Substitution anwenden kann und gibt es eine Regel dafür? Meine Ideen: .
15.04.2020, 08:39	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration substitution Hm. Bei einer gebrochen rationalen Funktion mit Nullstellen im Nenner verfolge ich eher den Ansatz, eine Partialbruchzerlegung durchzuführen, also den Integranden mittels des Ansatzes $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-x^2} = \frac A x + \frac{B}{x-1} \end{eqnarray}$ zu zerlegen. Jetzt mußt du nur die Koeffizienten A und B bestimmen. Im übrigen hast du hier ein uneigentliches Integral, da die Grenzen Definitionslücken sind.
15.04.2020, 14:57	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung hat mit dem Latex nicht ganz geklappt. Ist neu für mich. Gleiche Frage mit dem Integral: $\begin{eqnarray} \int_ \! \sqrt{x-x^{2}} \, dx \end{eqnarray}$
15.04.2020, 15:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Integrale $\begin{align} \int \sqrt{x^2 \pm 1} ~ \dd x \end{align}$ sind Beispiele für hyperbolische Substitutionen mit $\begin{align} x = \sinh(t) \end{align}$ oder $\begin{align} x = \cosh(t) \end{align}$ . Man macht sich dabei die Funktionalgleichung $\begin{align} \cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1 \end{align}$ zunutze. Steht oben im Integral das Pluszeichen, so wird man $\begin{align} x = \sinh(t) \end{align}$ substituieren, steht das Minuszeichen, $\begin{align} x = \cosh(t) \end{align}$ . Dein Integral kann durch quadratische Ergänzung und Substitution auf diese Integrale zurückgeführt werden. (EDIT: Korrektur unten) Hier eine kleine Alternative. EDIT Ich habe nicht aufgepaßt. Nach quadratischer Ergänzung und Substitution läuft es auf $\begin{align} \int \sqrt{1-x^2} ~ \dd x \end{align}$ hinaus. Also substituiert man den Sinus und macht sich $\begin{align} \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \end{align}$ zunutze.
15.04.2020, 15:22	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man es in einem Rutsch machen will, kann man $\begin{eqnarray} x = \frac{sin(u) + 1}{2} \end{eqnarray}$ substituieren.

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