2 Mengen können nicht getrennt werden (Hahn-Banach Kontext)

15.04.2020, 08:31

gast123123

2 Mengen können nicht getrennt werden (Hahn-Banach Kontext)

Hey,

gegeben sind die beiden Mengen

$\begin{eqnarray*} S:=\{s \in L^2(-1,1): s(0)=0, s \mathrm{\ stetig}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T:=\{t \in L^2(-1,1): t(0)=1, t \mathrm{\ stetig}\} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist: Es gibt kein stetiges, lineares $\begin{eqnarray*} \phi \in L^2(-1,1) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \phi(s)<\phi(t)\ \forall s \in S, t \in T \end{eqnarray*}$

Eventuell könnt ihr mit der Antwort mehr anfangen als ich:
[attach]51003[/attach]

Ich denke $\begin{eqnarray*} C_c(-1,1) \end{eqnarray*}$ sind die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger.

Wozu brauchen wir, dass $\begin{eqnarray*} t_n \to 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^2(-1,1) \end{eqnarray*}$ ?
Und wieso ist $\begin{eqnarray*} c=\lim_{n \to \infty}\phi(t_n) \end{eqnarray*}$ ?

Ich bin aber auch für andere Lösungen dankbar, falls euch etwas besseres einfällt!

15.04.2020, 14:54

IfindU

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Da $\begin{eqnarray*} t_n \in T \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} c = \phi(t_n) \end{eqnarray*}$ . Also auch $\begin{eqnarray*} c = \lim_{n\to\infty}\phi(t_n) \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} t_n \to t \end{eqnarray*}$ , dann gilt (aufgrund der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ) dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \phi(t_n) = \phi( \lim_{n\to\infty} t_n) = \phi(t) \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} t= 0 \end{eqnarray*}$ , so folgt aus der Linearität $\begin{eqnarray*} \phi(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

15.04.2020, 15:56

gast123123

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Danke!

Gilt tatsächlich, dass $\begin{eqnarray*} \phi(S)=\mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \phi(S)=\{0\} \end{eqnarray*}$ weil wir einen Vektorraum haben?

L^2(-1,1) ist ja unendlichdimensional soweit ich weiß. Vielleicht gibt es da Probleme

15.04.2020, 17:43

IfindU

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Zitat:

Original von gast123123
Gilt tatsächlich, dass $\begin{eqnarray*} \phi(S)=\mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \phi(S)=\{0\} \end{eqnarray*}$ weil wir einen Vektorraum haben?

Ja. Entweder $\begin{eqnarray*} \phi(u) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u \in S \end{eqnarray*}$ oder es gibt ein $\begin{eqnarray*} u_0 \in S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi(u_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Wir definieren $\begin{eqnarray*} v_0 = \frac{u_0}{\phi(u_0)} \in S \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \phi(v_0) = 1 \end{eqnarray*}$ . Insb. ist $\begin{eqnarray*} \phi(\mathbb R v_0) =\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von gast123123
L^2(-1,1) ist ja unendlichdimensional soweit ich weiß. Vielleicht gibt es da Probleme

Was soll Probleme geben?

15.04.2020, 18:26

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Zitat:

Original von gast123123
Danke!

Gilt tatsächlich, dass $\begin{eqnarray*} \phi(S)=\mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \phi(S)=\{0\} \end{eqnarray*}$ weil wir einen Vektorraum haben?

Man kann auch so argumentieren: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abbildung in die reellen Zahlen, $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum, also ist $\begin{eqnarray*} \phi(S) \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und davon gibt es nur zwei.

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