Zusammenhang Krümmung und Definitheit

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang Krümmung und Definitheit
Hey Leute Wink

Eine Sache, die mich schon immer irritiert hat und mir jetzt auf die Füße zu fallen droht, ist der Zusammenhang zwischen der Krümmung einer Funktion und der Definitheit der zugehörigen Hessematrix.

Mir ist bewusst, dass eine positiv definite (und damit auch eine positiv semidefinite) Hessematrix hinreichend für Konvexität einer Funktion ist. und die negativ definite (und damit auch eine negativ semidefinite) Hessematrix hinreichend für die Konkavität einer Funktion.

Meine Aufgabe:
Untersuche das Krümmungsverhalten der Funktion .

Die zugehörige Hessematrix hab ich schon bestimmt: . Wegen kann die Funktion nicht positiv semi definit sein. Die Funktion ist also entweder negativ semi definit oder indefinit, je nachdem wie sich die Determinante verhält.

Meine Fragen:
Da die Determinante ist für und die Funktion damit negativ semi definit, kann ich jetzt schlussfolgern, dass die Funktion in diesem Bereich auch konkav ist? Und welche Krümmung hat die Funktion in dem Bereich ?

Schon jetzt einmal vielen lieben Dank für eure ausführlichen Antworten smile
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Krümmung und Definitheit
Kommt schon Leute, ich hab doch hier kein Mysterium erschaffen.

Wie kann es denn möglich sein, dass von einer offensichtlich konkaven Funktion die zugehörige Hessematrix indefinit werden kann??

Dabei sagen mehrere Quellen, dass (auf einem konvexen Definitionsbereich) eine Funktion genau dann konkav ist, wenn die zugehörige Hessematrix negativ semi definit ist. Was wird hier übersehen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Krümmung und Definitheit
Zitat:
Original von MasterWizz
Wie kann es denn möglich sein, dass von einer offensichtlich konkaven Funktion die zugehörige Hessematrix indefinit werden kann??

Das kann dann sein, wenn die Behauptung "offensichtlich konkav" offensichtlich falsch ist.

Damit eine Funktion von 2 Variablen an einer Stelle konkav oder konvex ist, darf die Funktion als Funktion jeweils einer der beiden Variablen betrachtet, nicht unterschiedliches Krümmungsverhalten haben. Nun ist bei der gegebenen Funktion überall . ist aber nicht überall gegeben. Für genügend negatives hat man und in diesem Gebiet ist die Funktion weder konkav noch konvex.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Krümmung und Definitheit
Bist du dir sicher?? Der Funktionsplot sieht ziemlich konkav aus, egal wie weit ich rauszoome. Außerdem handelt es sich für jedes feste x bei f(y) um eine nach unten geöffnete Parabel und für jedes feste y bei f(x) ebenfalls.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Krümmung und Definitheit
Zunächst wirst du doch nicht bestreiten wollen, dass möglich ist. Damit ist der Fall eigentlich erledigt. Wenn du aber deinen Augen mehr traust als der Rechnung, dann plotte z. B. mal im Bereich . Man erkennt deutlich einen Wendepunkt und die unterschiedlichen Krümmungen links und rechts davon. Mag gut sein, dass man in einem 3D-Plot Probleme hat, das zu sehen.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Krümmung und Definitheit
Wow du hast Recht. Ich hätte einfach auf die Rechnung vertrauen sollen und nicht auf trügerische Bilder. Danke dir. Nur bitte sag mir noch zwei Dinge:

(1) Überall, wo die Hessematrix negativ semi definit ist, ist die Funktion auch wirklich konkav? Also unabhängig davon, dass es noch Bereiche gibt, wo die Hessematrix indefinit ist?

(2) Wie genau kann man sich den Bereich vorstellen, in dem die Funktion weder konvex noch konkav ist? Was ein Sattelpunkt ist, das weiß ich. Nur kann ja nicht ein ganzes Gebiet aus Sattelpunkten bestehen, oder?
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Krümmung und Definitheit
Zitat:
Original von MasterWizz
(1) Überall, wo die Hessematrix negativ semi definit ist, ist die Funktion auch wirklich konkav? Also unabhängig davon, dass es noch Bereiche gibt, wo die Hessematrix indefinit ist?

Ja.

Zitat:
(2) Wie genau kann man sich den Bereich vorstellen, in dem die Funktion weder konvex noch konkav ist? Was ein Sattelpunkt ist, das weiß ich. Nur kann ja nicht ein ganzes Gebiet aus Sattelpunkten bestehen, oder?

Da muss überhaupt kein Sattelpunkt vorliegen. Sattelpunkt bedeutet ja eine waagrechte Tangentialebene in dem Punkt. Bei dem von mir oben vorgeschlagenen Plotbereich ist die Wedetangente ja auch nicht waagrecht. Die Funktion muss nur mit Krümmungen unterschiedlichen Vorzeichens durch die Punkte gehen. Das kann in einem ganzen Gebiet der Fall sein.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Krümmung und Definitheit
Huggy, vielen Dank!! Du glaubst nicht wie glücklich ich jedes mal wieder über deine Hilfe bin! smile
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