Ungleichung zur dualen Norm

15.04.2020, 15:54	fluss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung zur dualen Norm Liebe Forumsmitglieder, das ist mein erstes Thema auf der Plattform also seid bitte nachsichtig, wenn ich noch nicht alle Funktionen richtig gebrauche. Bei einem Problem will mir kein passender Ansatz einfallen, obwohl es freundlicherweise einen Tipp gibt. ------------------------ Sei $\begin{eqnarray} \|\|\cdot\|\| \end{eqnarray}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\|\cdot\|\|^:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ die duale Norm* definiert durch $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|^=\max\{\|x\cdot y\|:y\in\mathbb{R}^n \text{ mit } \|\|y\|\|=1\}. \end{eqnarray}$ Zu zeigen: Für alle $\begin{eqnarray} y\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|\|y\|\|^{*}\leq \|\|y\|\| \end{eqnarray}$ Hinweis: Betrachten Sie $\begin{eqnarray} \max_{y:\|\|y\|\|=1}\|\|y\|\|^{} \end{eqnarray}$ . ------------------------- Bisher habe ich angenommen, dass es sich bei $\begin{eqnarray} \|x\cdot y\| \end{eqnarray}$ um das Standardskalarprodukt handelt. Bei der dualen Norm der dualen Norm entsteht ein verschachteltes Ding, das ich noch nicht so richtig verstehe. Vielen Dank für alle Antworten! --- Ich sehe gerade, dass ich im falschen Thread gelandet bin. Tut mir leid. ^^' EDIT: verschoben (klarsoweit) Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
16.04.2020, 09:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir zwar nicht unmittelbar zur Lösung verhelfen, aber etwas Licht in das Dunkel bringen. Vielleicht wird einer unserer Experten für Funktionalanalysis noch auf die Aufgabe aufmerksam. Wenn ich irgendwo gar nicht durchblicke, mache ich mir erst einmal Beispiele. 1. Was ist die duale Norm der Maximumnorm $\begin{align} \left\\| \cdot \right\\|_{\infty} \end{align}$ ? Ich nehme mir $\begin{align} x,y \in \mathbb{R}^n \end{align}$ , die Koordinaten bekommen einen Index. $\begin{align} x \end{align}$ bleibt während der Überlegung fest, für $\begin{align} y \end{align}$ gelte speziell $\begin{align} \left\\| y \right\\|_{\infty} = 1 \end{align}$ , also $\begin{align} \max_{1 \leq i \leq n} \left\| y_i \right\| = 1 \end{align}$ . Jetzt betrachte ich den Betrag des Skalarprodukts: $\begin{align} \left\| x_1y_1 + \ldots + x_ny_n \right\| \leq \left\| x_1 \right\| \left\| y_1 \right\| + \ldots + \left\| x_n \right\| \left\| y_n \right\| \leq \|x_1\| + \ldots \|x_n\| \end{align}$ Das rechts ist aber die Summennorm $\begin{align} \left\\| x \right\\|_1 \end{align}$ . Damit haben wir gezeigt: Für alle $\begin{align} y \end{align}$ mit $\begin{align} \left\\| y \right\\|_{\infty} = 1 \end{align}$ gilt $\begin{align} \left\| xy \right\| \leq \left\\| x \right\\|_1 \end{align}$ Jetzt zeige ich, daß der Wert rechts tatsächlich für ein $\begin{align} y \end{align}$ angenommen wird, nämlich wenn $\begin{align} y_i = \operatorname{sgn}(x_i) \end{align}$ ist (die Signumfunktion $\begin{align} \operatorname{sgn} \end{align}$ ordnet einer Zahl je nach Vorzeichen $\begin{align} \pm 1 \end{align}$ zu; offenbar gilt $\begin{align} \left\\| y \right\\|_{\infty} = 1 \end{align}$ für dieses spezielle $\begin{align} y \end{align}$ ): $\begin{align} \left\| x_1 \cdot \operatorname{sgn}(x_1) + \ldots + x_n \cdot \operatorname{sgn}(x_n) \right\| = \left\| \, \|x_1\| + \ldots + \|x_n\| \, \right\| = \|x_1\| + \ldots + \|x_n\| = \left\\| x \right\\|_1 \end{align}$ Das Maximum aller $\begin{align} \|xy\| \end{align}$ , erstreckt über alle $\begin{align} y \end{align}$ mit $\begin{align} \left\\| y \right\\|_{\infty} = 1 \end{align}$ , ist also gerade $\begin{align} \left\\| x \right\\|_1 \end{align}$ : $\begin{align} \left\\| x \right\\|_{\infty}^ = \left\\| x \right\\|_1 \end{align}$ Die duale Norm der Maximumnorm ist also die Summennorm: $\begin{align} \left\\| \cdot \right\\|_{\infty}^* = \left\\| \cdot \right\\|_1 \end{align}$ 2. Was ist die duale Norm der Summennorm? Ich nehme mir $\begin{align} x,y \in \mathbb{R}^n \end{align}$ mit $\begin{align} \left\\| y \right\\|_1 = 1 \end{align}$ , das heißt $\begin{align} \|y_1\| + \ldots + \|y_n\| = 1 \end{align}$ . Und wieder untersuche ich den Betrag des Skalarprodukts: $\begin{align} \left\| x_1y_1 + \ldots + x_ny_n \right\| \leq \left\| x_1 \right\| \left\| y_1 \right\| + \ldots + \left\| x_n \right\| \left\| y_n \right\| \leq \max_{1 \leq i \leq n}\|x_i\| \cdot \left( \|y_1\| + \ldots + \|y_n\| \right) = \max_{1 \leq i \leq n}\|x_i\| = \left\\| x \right\\|_{\infty} \end{align}$ Damit haben wir gezeigt: Für alle $\begin{align} y \end{align}$ mit $\begin{align} \left\\| y \right\\|_1 = 1 \end{align}$ gilt $\begin{align} \left\| xy \right\| \leq \left\\| x \right\\|_{\infty} \end{align}$ Wieder zeige ich, daß der Wert rechts tatsächlich für ein $\begin{align} y \end{align}$ angenommen wird. Das Maximum der $\begin{align} \|x_i\| \end{align}$ wird an einem Index $\begin{align} i_0 \end{align}$ angenommen. Ich setze $\begin{align} y_{i_0} = 1 \end{align}$ und $\begin{align} y_i=0 \end{align}$ sonst. $\begin{align} y \end{align}$ hat damit auf jeden Fall die Summennorm 1, und es gilt: $\begin{align} \left\| x_1 y_1 + \ldots + x_n y_n \right\| = \left\| x_{i_0} \right\| = \max_{1 \leq i \leq n} \|x_i\| = \left\\| x \right\\|_{\infty} \end{align}$ Das Maximum aller $\begin{align} \|xy\| \end{align}$ , erstreckt über alle $\begin{align} y \end{align}$ mit $\begin{align} \left\\| y \right\\|_1 = 1 \end{align}$ , ist also gerade $\begin{align} \left\\| x \right\\|_{\infty} \end{align}$ : $\begin{align} \left\\| x \right\\|_1^* = \left\\| x \right\\|_{\infty} \end{align}$ Die duale Norm der Summennorm ist also die Maximumnorm: $\begin{align} \left\\| \cdot \right\\|_1^* = \left\\| \cdot \right\\|_{\infty} \end{align}$ In den speziellen Fällen 1. und 2. kehrt man also durch das doppelte Sternen zur Ausgangsnorm zurück. 3. Was ist die duale Norm der euklidischen Norm? Dieses Mal nehme ich also $\begin{align} x,y \in \mathbb{R}^n \end{align}$ mit $\begin{align} \left\\| y \right\\|_2 = 1 \end{align}$ . Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung sagt gerade: $\begin{align} \left\| xy \right\| \leq \left\\| x \right\\|_2 \cdot \left\\| y \right\\|_2 = \left\\| x \right\\|_2 \end{align}$ Und wieder zeige ich, daß der Wert $\begin{align} \left\\| x \right\\|_2 \end{align}$ tatsächlich angenommen wird. Ich wähle speziell $\begin{align} y = \frac{1}{\left\\| x \right\\|_2} \cdot x \end{align}$ (der Fall $\begin{align} x=0 \end{align}$ ist klar) In der Tat gilt dann $\begin{align} \left\\| y \right\\|_2 = \left\\| \frac{1}{\left\\| x \right\\|_2} \cdot x \right\\|_2 = \frac{1}{\left\\| x \right\\|_2} \cdot \left\\| x \right\\|_2 = 1 \end{align}$ und weiter $\begin{align} \left\| xy \right\| = \left\| x \cdot \frac{1}{\left\\| x \right\\|_2} x \right\| = \frac{1}{\left\\| x \right\\|_2} \cdot \left\| x \cdot x \right\| = \frac{1}{\left\\| x \right\\|_2} \cdot {\left\\| x \right\\|_2}^2 = \left\\| x \right\\|_2 \end{align}$ Das Maximum aller $\begin{align} \|xy\| \end{align}$ , erstreckt über alle $\begin{align} y \end{align}$ mit $\begin{align} \left\\| y \right\\|_2 = 1 \end{align}$ , ist also gerade $\begin{align} \left\\| x \right\\|_2 \end{align}$ : $\begin{align} \left\\| x \right\\|_2^* = \left\\| x \right\\|_2 \end{align}$ Die euklidische Norm ist also zu sich selbst dual: $\begin{align} \left\\| \cdot \right\\|_2^* = \left\\| \cdot \right\\|_2 \end{align*}$
16.04.2020, 11:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Seien $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R^n \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \lvert x \cdot y \rvert = \lVert y \rVert \left \lvert x \cdot \frac { y } {\lVert y \rVert^{} } \right\rvert \leq \\| y\\| \\|x\\|^ \end{eqnarray*}$ .
16.04.2020, 12:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So einfach kann es gehen. Ich hatte schon bei meiner Untersuchung der euklidischen Norm den Verdacht, daß man da irgendwelche Normfaktoren in die Norm ziehen muß.
16.04.2020, 14:27	fluss	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold Vielen lieben Dank für deine Antwort. Du hast es perfekt geordnet aufgeschrieben und in der Tat ist es genau das, was ich vorher auch gelöst habe. Das ist schonmal eine Erleichterung. @IfindU Danke für deinen Tipp. Der hat mir jetzt sogar zum Durchbruch verholfen. Ich vervollständige das hier und es wäre toll, wenn mir jemand mitteilen könnte, ob ich es richtig gemacht habe. Sei $\begin{eqnarray} y\in\mathbb{R}^n\backslash\{0\} \end{eqnarray}$ beliebig, dann ist die zweifache duale Norm $\begin{eqnarray} \|\|y\|\|^{}=\max\{\|y\cdot x\|:x\in\mathbb{R}^n\wedge\|\|x\|\|^=1\} \end{eqnarray}$ Wähle nun $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|^=1 \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} \|\|y\|\|^{}=\|y\cdot x\| \end{eqnarray}$ ist. Mit der leicht zu verstehenden "Ungleichung von IfindU" folgt $\begin{eqnarray} \|\|y\|\|^{}=\|y\cdot x\|=\|\|y\|\|\left\|\frac{y}{\|\|y\|\|}\cdot x\right\|\leq \|\|x\|\|^\|\|y\|\|=\|\|y\|\| \end{eqnarray*}$ , womit die Behauptung gezeigt ist.
17.04.2020, 09:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt. Da $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ endlich-dimensional ist, und das Maximum existiert, existiert dein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit den gewollten Eigenschaften. Wenn es nicht existiert, so kann man die Ungleichung für beliebiges $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\| x\\|^ = 1 \end{eqnarray}$ anwenden und dann die gleichmäßige Schranke benutzen, um aus $\begin{eqnarray} \| y \cdot x\| \leq \\|y\\| \end{eqnarray}$ zu folgern, dass $\begin{eqnarray} \sup_{x: \\|x\\|^* = 1} \| y \cdot x\| \leq \\|y\\| \end{eqnarray*}$ .
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19.04.2020, 14:22	fluss	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis, IfindU. Ich sehe, dass diese Aufgabe erst den Anfang von etwas Umfangreicherem darstellt. Das ist jetzt nur eine Vermutung, aber wenn man in der Definition das Maximum durch ein Supremum ersetzt, könnte man eine Norm auch für unendlich-dimensionale $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Vektorräume erhalten.. ^^'

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