Bild und Urbild einer linearen Abbildung

16.04.2020, 11:09

Manuel L.

Bild und Urbild einer linearen Abbildung

Meine Frage:
Könnt Ihr mir hier bitte weiterhelfen, brauche das bis 19.04 für eine positive Note.

Meine Ideen:
Muss ich das Bild von A berechnen, oder A anhand von der linearen Abbildung?
Das Urbild danach von A, oder von der Angabe?
Und c verstehe ich leider gar nicht.

16.04.2020, 11:33

Elvis

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(a,b) Du hast die Linearität von F gegeben, schreibe auf, was das bedeutet, und rechne. Beachte, dass schon für 3 Basisvektoren das Bild angegeben ist.
(c) Für den 4. Basisvektor ist kein Bild gegeben, diesen und sein Bild kannst du also beliebig wählen.

16.04.2020, 11:44

Manuel L.

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Zitat:

Original von Elvis
(a,b) Du hast die Linearität von F gegeben, schreibe auf, was das bedeutet, und rechne. Beachte, dass schon für 3 Basisvektoren das Bild angegeben ist.
(c) Für den 4. Basisvektor ist kein Bild gegeben, diesen und sein Bild kannst du also beliebig wählen.

Geht dies vllt ein wenig genauer, bin schon seit über 4h am probieren und je mehr ich es versuche, desto weniger verstehe ich es :/

16.04.2020, 12:00

Elvis

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4 Stunden ist zuviel, ich habe nach 3 Minuten diesen Ansatz:

$\begin{eqnarray*} a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+b+c & b+c \\ c & a+b+c \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a+b+c & 2(a+b+c) \\ 3(a+b+c) & 4(b-c) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.04.2020, 12:11

Manuel L.

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Zitat:

Original von Elvis
4 Stunden ist zuviel, ich habe nach 3 Minuten diesen Ansatz:

$\begin{eqnarray*} a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+b+c & b+c \\ c & a+b+c \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a+b+c & 2(a+b+c) \\ 3(a+b+c) & 4(b-c) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ok verstehe, nur wie komme ich von dem Buchstabensalat auf das Bild F(A)?

16.04.2020, 12:46

Manuel L.

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Stimmt es, wenn ich daraus eine 4x4 Abbildungsmatrix herausbekomme?
Wenn ich den Buchstabensalat mal (1 0 0 0), (0 1 0 0), usw mulktipliziere und sie dann als 4x4 Matrix aufstelle?

Falls ja, muss ich dann die 4x4 Matrix mit dem A-"Vektor (2 -1 -2 2) multiplizieren, damit ich das Bild F(A) herausbekomme?

16.04.2020, 12:49

Elvis

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Die Buchstaben sind variable Elemente des Körpers $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , über dem der betrachtete Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ liegt. Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Urbild meines Ansatzes und / oder $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein Bild dieses Ansatzes sein soll, dann kann man die Gleichungen lösen, die durch Koeffizientenvergleich entstehen. Für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Urbild spricht ja schon mal, dass links oben und rechts unten das gleiche Element $\begin{eqnarray*} a+b+c \end{eqnarray*}$ steht. Beantwortet das vielleicht schon die Zusatzfrage zu (a)? Wenn du schon 5 Stunden an dieser Aufgabe arbeitest, musst du doch auch schon ein paar Ideen ausgebrütet haben ... hast du schon verstanden, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ 2x2-Matrizen auf 2x2-Matrizen abbildet ?

16.04.2020, 12:57

Manuel L.

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Die Zusätze brauche ich nicht.

Ansätze ja, aber ich habe alle wieder in den Sand gesetzt. Ich komme einfach nicht dahinter.
Wenn du mir weiterhin helfen könntest, wär ich dir wirklich dankbar :/

Ja, das habe ich, aber nach 5h ist mein Gehirn nicht mehr anwesend....
Dazu sollte ich die Arbeit ihm am Besten morgen schon senden, kam gerade vorher....

16.04.2020, 13:13

Elvis

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a) $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+b+c & b+c \\ c & a+b+c \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a+b+c & 2(a+b+c) \\ 3(a+b+c) & 4(b-c) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+b+c & b+c \\ c & a+b+c \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a+b+c & 2(a+b+c) \\ 3(a+b+c) & 4(b-c) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I \end{eqnarray*}$

Weißt du nicht, dass Koeffizienten-Vektoren und Matrizen aus Koeffizienten bezüglich einer Basis bestehen ? Weißt du nicht, dass zwei Matrizen genau dann gleich sind, wenn sie in allen Koeffizienten überein stimmen ? Weßt du nicht, was ein Koeffizientenvergleich ist ? Liest du meine Antworten nicht ? Hast du noch Lust auf Mathe oder heute keinen Bock ?

16.04.2020, 13:24

Manuel L.

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Zitat:

Original von Elvis
a) $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+b+c & b+c \\ c & a+b+c \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a+b+c & 2(a+b+c) \\ 3(a+b+c) & 4(b-c) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+b+c & b+c \\ c & a+b+c \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a+b+c & 2(a+b+c) \\ 3(a+b+c) & 4(b-c) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I \end{eqnarray*}$

Weißt du nicht, dass Koeffizienten-Vektoren und Matrizen aus Koeffizienten bezüglich einer Basis bestehen ? Weißt du nicht, dass zwei Matrizen genau dann gleich sind, wenn sie in allen Koeffizienten überein stimmen ? Weßt du nicht, was ein Koeffizientenvergleich ist ? Liest du meine Antworten nicht ? Hast du noch Lust auf Mathe oder heute keinen Bock ?

Es tut mir schrecklich leid, natürlich lese ich deine Antworten!
Und ja, ich habe noch Lust auf Mathe heute, ich will doch die restlichen 5 Bsp auch noch fertig bringen smile

Somit ist a und b vollständig, wie funktioniert c?
Vielen Dank im Voraus für deine Mühen!

16.04.2020, 14:04

Elvis

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Nichts ist vollständig. Ich habe dir einen Ansatz gegeben, der nur die Linearität von F braucht. Daraus habe ich die linearen Gleichungssysteme hergeleitet, die du lösen musst, um a) und b) zu beantworten. Du verstehst mich nicht, auf c) habe ich schon in meinem ersten Post geantwortet, jetzt habe ich auch keine Lust mehr.

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