Kreis-Hyperbel-Verwandtschaft

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quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »
Kreis-Hyperbel-Verwandtschaft
Man zeige anhand eines Zusammenhang-Systems, dessen Bild elementar mit einer Sequenz von Kreis- und Gerade-Stücken gezeichnet wird, dass Kreis und Hyperbel miteinander verwandt sind, indem die folgende Zuordnung erfüllt ist. Jedem Punkt auf den Hyperbelästen ist eindeutig ein Punkt auf einer Kreiskurve zugeordnet und umgekehrt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In der projektiven Geometrie sind Kreis und Hyperbel identisch. Es kommt nur darauf an, wo die unendlich ferne Gerade liegt. (Wenn die unendlich ferne Gerade eine Tangente an den Kreis ist, so wird diese nicht ausgeartete ebene Quadrik auch noch eine Parabel.)
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Aus dem Bild des einen Kreises und zweier parallel Geraden kann ich den erfragten Zusammenhang nicht erkennen.
Zu jedem Punkt auf der Kreiskurve gibt es einen eindeutigen Punkt auf einer Hyperbelkurve und umgekehrt. Wie sieht der nachvollziehbare Zusammenhang als gezeichnete Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten aus?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die unendlich ferne Gerade (rechts im Bild) die Quadrik schneidet, ist diese eine Hyperbel. Wenn die unendlich ferne Gerade (nicht im Bild) die Quadrik berührt, ist diese eine Parabel. Wenn die unendlich ferne Gerade (links im Bild) die Quadrik nicht schneidet oder berührt, ist diese ein Kreis.

Ich dachte, du verstehst Bilder.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird in der projektiven Geometrie wohl so sein, wie du schreibst. Etwas mehr Erklärung wäre sicherlich hilfreich.
Mein angesprochener Zusammenhang "Jedem Punkt auf den Hyperbelästen ist eindeutig ein Punkt auf einer Kreiskurve zugeordnet und umgekehrt." kann im Rahmen elementarer Geometrie als DGS-Bild dargestellt werden. Wird dann im DGS-Zugmodus ein Punkt auf der Kreiskurve bewegt, dann bewegt sich auch der zugeordnete Punkt auf der Hyperbelkurve.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe alles durch das Bild erklärt, weil ich von dir gelernt habe, dass Bilder alles erklären. Augenzwinkern
Wie kommt dein Punkt von einem Hyperbelast zum anderen ?
 
 
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der ganze Kreis durchlaufen wird, gibt es auch auf beiden Hyperästen zugeordnete Punkte.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stetig? Mach doch einfach mal ein Bild!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In der komplexen Ebene wird der Einheitskreis mit der Möbius-Transformation



auf die Gerade abgebildet. Dabei gilt . Dann wird die Abbildung



nachgeschaltet, die die Gerade in den rechten Ast der Hyperbel überführt.

[attach]51057[/attach]
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, danke, jetzt warte ich noch auf quadrierers Bild, in dem beide Äste durchlaufen werden.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Mein betrachtetes Zusammenhang-System wird in der Euklidischen Ebene dargestellt und kommt noch ohne Rechenoperationen in der komplexen Ebene aus. Die gezeichneten Schritte (zusammenhängend gezeichneter Kreis- und Geraden-Stücke) lassen sich Schritt um Schritt nachverfolgen. Hinweis: Die Asymptoten sind hier orthogonal.

Einfach mal probieren, ein Versuch kostet ja nichts, ausser Zeit!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich meinst du so etwas, wie den Kreis in dieser Aufgabe in bekannter Weise vom Nordpol aus auf die Tangente durch den Südpol zu projizieren. Wenn dann ein Punkt den Kreis durchläuft, durchläuft sein Projektionspunkt die Südpoltangente und kann die Rolle von einnehmen. Damit durchlaufen und ihre Hyperbeln.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quadrierer
Mein betrachtetes Zusammenhang-System wird in der Euklidischen Ebene dargestellt und kommt noch ohne Rechenoperationen in der komplexen Ebene aus.

Ich verstehe nicht, was du damit sagen möchtest. Die euklidische Ebene ist gleich den komplexen Zahlen, also kann sich die Geometrie dieser beiden Mengen nicht unterscheiden.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ich es verstanden, ist ja trivial, ich kann den Kreis quadrieren und dann Leopolds Ansatz verwenden.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Es hat etwas länger gedauert, bis ich deinen Beitrag ohne Bild verstanden habe. Ja, so kann man auch Punkte von Hyperbeln gezeichnet berechnen und die Zuordnung herstellen. Es gibt natürlich noch viele andere Möglichkeiten.

Wie bekannt, sind meine Betrachtungen auf elementar gezeichnete Zusammenhang-Modelle zu elementaren Rechenverknüpfungen gerichtet. So nehme ich hier den Flächenerhalt eines Rechtecks von der Grösse 2 und Symmetrie zur Grundlage, da damit Duplikationen bzw. Zweierpotenzen ins Spiel kommen.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar gibt es keine weiteren Vorschläge zu meiner gestellten Aufgäbe.
Meine Betrachtungen sind hier auf folgendes, von mir erdachtes, Kohärenzsystem "Kreis-Hyberbel" gerichtet und kommt ohne komplexe Zahlen aus. Dabei kommen 2-er Potenzen bzw. Duplikationen mit gebrochenen Duplikatoren ins Spiel.
[attach]51191[/attach]
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