Globales Minimum einer Funktion

16.04.2020, 17:20

Phasma

Globales Minimum einer Funktion

Bestimmen Sie (mit Nachweis) für jedes $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ das globale Minimum der Funktion
$\begin{eqnarray*} f:H\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x,y):=x^2-ax+y^2 \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} H:=\left\{(x,y)\in \mathbb R^2|x+y \geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ ,
falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein solches Minimum besitzt. Geben Sie in diesen Fällen alle Stellen an, an denen das Minimum angenommen wird.

Mit dieser Aufgabe komme ich erstmal relativ gut zurecht (glaube ich zumindest):
Ich bestimme den Gradienten
$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x-a \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , der Null wird, wenn $\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{2},0 \right) \end{eqnarray*}$ der kritische Punkt. Aber hier muss $\begin{eqnarray*} a\geq 2 \end{eqnarray*}$ sein, damit der Punkt auch in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ enthalten ist.
Nun habe ich berechnet: $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{a}{2},0 \right)=-\frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$ und mit quadratischer Ergänzung abgeschätzt:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x-\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{4}+y^2\geq -\frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} -\frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$ ein globales Minimum, dass an den Stellen $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{2},0 \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\geq 2 \end{eqnarray*}$ angenommen wird.
Stimmt das soweit?

Dann gibt es ja noch den Fall, dass $\begin{eqnarray*} a<2 \end{eqnarray*}$ ist. In diesem Fall könnte es am Rand von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ noch globale Minima geben. Auf dem Rand von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x+y=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x-1=y \end{eqnarray*}$ . Einsetzen in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ergibt:
$\begin{eqnarray*} g(x)=2x^2-(a+2)x+1 \end{eqnarray*}$ . Ableiten und Null setzen liefert dann den Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)=\left(\frac{a+2}{4},\frac{2-a}{4}\right) \end{eqnarray*}$ . Einsetzen in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} f(x_0,y_0)=-\frac{1}{8}(a+2)^2+1 \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Nun komme ich allerdings nicht weiter; wie kann ich prüfen, ob es sich wirklich um ein globales Minimum handelt? Es reicht ja nicht, einfach zu argumentieren, dass die zweite Ableitung positiv ist, oder? Analog zu oben mit quadratischer Ergänzung abzuschätzen habe ich probiert, aber leider erfolglos... Kann hier jemand helfen?

Wäre auch super wenn mir jemand ein kurzes Feedback gibt, ob der Rest passt, den ich bereits gemacht habe... Vielleicht habe ich mich ja auch schon längst irgendwo vorher vertan smile

16.04.2020, 23:52

klauss

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RE: Globales Minimum einer Funktion
Nach meiner Ansicht stimmt das alles, bis auf einen kleinen Schönheitsfehler:

Zitat:

Original von Phasma
Auf dem Rand von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x+y=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x-1=y \end{eqnarray*}$ .

Auf dem Rand gilt $\begin{eqnarray*} 1-x=y \end{eqnarray*}$
Das hat sich nicht ausgewirkt, da $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ quadriert wird, auch den möglichen Folgefehler bei $\begin{eqnarray*} y_{0} \end{eqnarray*}$ hast Du vermieden - ein andermal könnte es schiefgehen.

Die Idee, die Funktion mit quadratischer Ergänzung umzuschreiben, ist gut, da sieht man, dass es sich um ein in x- und z-Richtung verschobenes Paraboloid handelt mit dem Scheitel an der Stelle $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{a}{2} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , der ein globales Minimum sein muß.
Für $\begin{eqnarray*} a<2 \end{eqnarray*}$ liegt der Scheitel außerhalb des Definitionsbereichs.
Hier kann man zur Abwechslung mal geometrisch begründen, dass Dein $\begin{eqnarray*} \left(x_{0}, y_{0} \right) \end{eqnarray*}$ tatsächlich ein Minimum ist:
Vom Rotationsparaboloid wissen wir, dass der Funktionswert größer wird, je weiter man sich in der x-y-Ebene von der Scheitelstelle entfernt.
Der Punkt $\begin{eqnarray*} \left(x_{0}, y_{0} \right) \end{eqnarray*}$ liegt auf der Geraden $\begin{eqnarray*} y=1-x \end{eqnarray*}$ , diese hat den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Der Verbindungsvektor von $\begin{eqnarray*} \left(x_{0}, y_{0} \right) \end{eqnarray*}$ und der Scheitelstelle ist
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{a+2}{4} \\ \frac{2-a}{4} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} \frac{a}{2} \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{2-a}{4} \\ \frac{2-a}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das Skalarprodukt dieses Verbindungsvektors mit dem Richtungsvektor der Geraden ist 0, woraus folgt, dass der Abstand zwischen Scheitelstelle und $\begin{eqnarray*} \left(x_{0}, y_{0} \right) \end{eqnarray*}$ gleich dem kürzesten Abstand der Scheitelstelle von der Geraden $\begin{eqnarray*} y=1-x \end{eqnarray*}$ ist. Also sind alle anderen Punkte der Geraden weiter von der Scheitelstelle entfernt und liefern einen größeren Funktionswert. Dann muß $\begin{eqnarray*} \left(x_{0}, y_{0} \right) \end{eqnarray*}$ das globale Minimum sein.

Verwunderlich übrigens, dass bisher niemand geantwortet hat, obwohl Du Dir ja richtig Mühe mit der Eigenleistung gemacht hast.
Bei schlampig hingeklatschten Aufgaben ohne eigene Ideen ist hingegen meistens schnell jemand zur Stelle, um den Fragesteller zu rüffeln.

17.04.2020, 09:38

Phasma

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RE: Globales Minimum einer Funktion
Danke für die ausführliche Erklärung mit der geometrischen Argumentation!

Für die Zukunft: Grundsätzlich gibt es wohl keine "universelle" Methode, so etwas nachzuweisen?

18.04.2020, 02:30

klauss

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RE: Globales Minimum einer Funktion
Für den Nachweis, dass bei $\begin{eqnarray*} \left(x_{0},y_{0} \right) \end{eqnarray*}$ das Minimum des Randes liegt, hätte ein übliches Kriterium für Funktionen einer Variabler genügt.
Diese Funktion war so freundlich, dass wir mit der geometrischen Argumentation auch zugleich für alle Punkte im Inneren von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ kleinere Funktionswerte ausschließen konnten. Ansonsten hätte man das gesondert begründen müssen.
Eine universelle Methode gibt es da sicher nicht. Man muß sich halt jeweils was einfallen lassen.

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