Wahrscheinlichkeit gemeinsamer Geburtstage

16.04.2020, 22:37

unigator 312

Wahrscheinlichkeit gemeinsamer Geburtstage

Meine Frage:
Es gibt eine Gruppe von 8 Personen. Wie gross ist die WS, dass 2 mal 2 Personen aus der Gruppe einen gemeinsamen Geburtstag haben. (Beispielsweise: Person 1 und 2 am 5. August; Person 5 und 8 am 1. Dezember).

Meine Ideen:
Annahme das Jahr hat 365 Tage.
In einer Gruppe von 2 Personen hat ein gemeinsamer Geburtstag die WS 1/365?

Idee: Wähle 4 Personen aus 8 (die die gemeinsame Geburtstage haben) und danach wähle 2 aus 4 aus (die die am genau gleichen Tag Geburtstag haben) und irgendwie noch das mit 1/365 einbringen?

17.04.2020, 16:31

HAL 9000

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Was ist wenn 5 Personen am 1.05. und die anderen 3 am 3.10. Geburtstag haben - zählt das dann auch? verwirrt

Daher bitte sehr präzise formulieren - ich nehme an, du meinst folgendes:

Zitat:

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens zwei verschiedene Tage im Jahr gibt, die jeweils mindestens zweimal als Geburtstagstermine unter den 8 Leuten vorkommen?

Oder sollen es wirklich nur diese 2x2 sein, und die anderen vier Leute mit sämtlich davon verschiedenen Geburtstagen? Das wäre dann eine (etwas) kleinere Wahrscheinlichkeit.

17.04.2020, 16:38

Leopold

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Ja, die deutsche Sprache ist nicht präzise genug, das auf den Punkt zu bringen. Meine Interpretation wäre das Muster AABBCDEF. Jedenfalls, daß das gemeint ist.

17.04.2020, 18:26

Dopap

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Im Poker gibt es dafür genaue Begriffe.

AABBCDEF würde man 2 Paare nennen. Ein Zusatz genau ist nicht erforderich.

17.04.2020, 21:18

HAL 9000

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Naja, bleiben wir mal bei der Geburtstagsfrage: Wenn man da danach fragt, ob es unter 8 Leuten zwei gibt mit dem selben Geburtstag, dann wird man das wohl kaum verneinen wollen, wenn es dann sogar drei sind. Insofern halte ich eine Analogie zum Poker verfehlt, da keiner dort wohl sagt, er habe ein Paar, wenn er in Wahrheit einen Dreier hat.

18.04.2020, 14:36

Dopap

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das war lediglich die Übersetzung von Leopold

Doch im Poker gibt's das schon, jedenfalls im Film:

A: ich hab einen Drilling mit Assen
B: und ich habe 2 Paare ........... mit Achten. Augenzwinkern

sollte man nicht tun, macht Stress

19.04.2020, 08:19

uni

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Danke für eure Überlegungen.
In dieser Aufgabe ist genau und nur die WS für AABBCDEF gesucht.

19.04.2020, 13:07

Dopap

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Momentan bin ich für $\begin{eqnarray*} P(aabbcdef)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{365}{365}\frac{1}{365}\right)\cdot \left( \frac{364}{365}\frac{1}{365}\right)\cdot \frac{363}{365}\cdot \frac{362}{365} \cdot \frac{361}{365}\cdot \frac{360}{365}\approx 7.202\cdot 10^{-6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \quad \,\,\, AA\qquad \qquad \,\,BB \end{eqnarray*}$

19.04.2020, 14:48

Huggy

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Es empfiehlt sich immer, seine Überlegungen an kleinen Zahlen zu prüfen. Sei also $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ die Zahl der Personen und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ die Zahl der Tage eines Jahres. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, den $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ Personen einen Geburtstag zuzuzordnen, ist

$\begin{eqnarray*} N=T^P \end{eqnarray*}$

Das stimmt schon mal mit deinem Nenner überein. Betrachten wir nun den Fall $\begin{eqnarray*} P=4,T=2 \end{eqnarray*}$ . Dann hat man für die Zuordnung der Geburtstage folgende Möglichkeiten:

(1,1,2,2)
(1,2,1,2)
(1,2,2,1)
(2,1,1,2)
(2,1,2,1)
(2,2,1,1)

Das sind 6 Möglichkeiten für das Muster AABB. Bei dir würde aber im Zähler $\begin{eqnarray*} 2\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 =2 \end{eqnarray*}$ stehen. Betrachtet man den Fall $\begin{eqnarray*} P=4, T=3 \end{eqnarray*}$ , gibt es 18 Möglichkeiten, die zu dem Muster passen. Bei dir würde im Zähler $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \end{eqnarray*}$ stehen.

19.04.2020, 15:50

Leopold

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Ich verwende analoge Bezeichnungen wie im Beitrag hier und komme mit

$\begin{align*} \kappa = \left( 4,2,0,0,0,0,0,0 \right), \ k=6 \end{align*}$

für das Muster AABBCDEF auf die folgende Anzahl der Möglichkeiten

$\begin{align*} \frac{8!}{\left( 1! \right)^4 \cdot \left( 2! \right)^2 \cdot \left( 3! \right)^0 \cdots \left( 8! \right)^0 } \cdot \frac{(365)_6}{4! \cdot 2! \cdot 0! \cdots 0!} \end{align*}$

Das noch mit $\begin{align*} \frac{1}{365^8} \end{align*}$ multipliziert erhält man als Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} \frac{52.216.236.648.576}{34.523.120.372.178.125} \approx 0{,}0015 \end{align*}$ .

EDIT
noch gekürzt

19.04.2020, 16:02

HAL 9000

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Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in meiner Auffassung betrachtet ist zugegebenermaßen nicht signifikant höher:

$\begin{eqnarray*} \frac{1322406652025732}{863078009304453125}\approx 0.0015322 \end{eqnarray*}$

(der Bruch von Leopold ist $\begin{eqnarray*} \approx 0.0015125 \end{eqnarray*}$ ).

19.04.2020, 17:58

Dopap

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Leopolds link zu seinem eigenen Beitrag und die dortige Klasseneinteilung* kennt man auch als Pokertest für Zufallsziffern.

So ein Schnellschuss wie der Meinige ging natürlich schief, und mehr als Diskussionsbeitrag gedacht ...

(*) obwohl mir dort noch die Klasse einer Strasse fehlt Augenzwinkern

19.04.2020, 21:04

klauss

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Zitat:

Original von Dopap
So ein Schnellschuss wie der Meinige ging natürlich schief, und mehr als Diskussionsbeitrag gedacht ...

Na dann diskutier ich den mal.
Der Ansatz war wohl durchaus richtig, aber nicht vollständig durchgezogen, weshalb das Ergebnis zu niedrig ausgefallen ist.

Ich würde dennoch ebenfalls so starten:
Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten für 8 Personen in einer Anordnung, z. B.
$\begin{eqnarray*} \left(AB\right)\left(CD\right)EFGH \end{eqnarray*}$
ist $\begin{eqnarray*} 365\cdot 1\cdot 364\cdot 1\cdot 363\cdot 362\cdot 361\cdot 360=\frac{365!}{359!} \end{eqnarray*}$
wobei die Positionen 1/2 und 3/4 die beiden gleichen Geburtstage erhalten.
Zu multiplizieren ist dies mit der Anzahl der möglichen Paare mit gleichem Geburtstag an Position 1/2 und 3/4, also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Teilt man das durch $\begin{eqnarray*} 365^{8} \end{eqnarray*}$ ist man um den Faktor 2 zu groß. Offenbar muß man noch durch $\begin{eqnarray*} 2! \end{eqnarray*}$ teilen für die Vertauschung der beiden Blöcke 1/2 und 3/4, da die Geburtstagsvertauschung unter beiden Blöcken bereits im obigen ersten Produkt enthalten ist. (Wählt man z. B. $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} CD \end{eqnarray*}$ für die beiden Blöcke 1/2 und 3/4 aus, spielt es dann keine Rolle, welches Paar welchem Block zugewiesen wird)

Ergebnis also letztlich: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot\frac{1}{365^{8} } \cdot \frac{365!}{359!}\cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zum selben Ergebnis komme ich auch mit einer anderen Überlegung:
Ich nehme die 8 Personen in der festen Anordnung
$\begin{eqnarray*} ABCDEFGH \end{eqnarray*}$
und überlege, wieviele Möglichkeiten es gibt, auf diese feste Anordnung die Faktoren des Produkts
$\begin{eqnarray*} 365\cdot 1\cdot 364\cdot 1\cdot 363\cdot 362\cdot 361\cdot 360 \end{eqnarray*}$
zu verteilen.
Das wären $\begin{eqnarray*} \frac{8!}{2!4!2!2!} \end{eqnarray*}$
Im Nenner wird geteilt durch
- $\begin{eqnarray*} 2! \end{eqnarray*}$ für die Vertauschung der beiden Einsen an sich
- $\begin{eqnarray*} 4! \end{eqnarray*}$ für die Vertauschung der Personen mit unterschiedlichem Geburtstag, da deren Geburtstagsvertauschung wieder im langen Produkt enthalten ist.
- $\begin{eqnarray*} 2! \end{eqnarray*}$ für die Vertauschung der Faktoren $\begin{eqnarray*} 365 \end{eqnarray*}$ und zugehöriger $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} 2! \end{eqnarray*}$ für die Vertauschung der Faktoren $\begin{eqnarray*} 364 \end{eqnarray*}$ und zugehöriger $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

19.04.2020, 23:55

Dopap

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deine Fortsetzung ist mir verständlich.
Klar war schon, dass die 10^(-6) zu klein sind und noch etwas fehlte.

Anscheinend berechnete ich damit, dass in einer angetretenen Achtertruppe die beiden Ersten gleichen Geburtstag haben und das ebenso für Nummer 3 und 4 gilt.

20.04.2020, 10:37

uni

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Ich danke euch vielmals! Eure Lösungsansätze haben mir sehr geholfen.
Besten Dank!

20.04.2020, 11:17

HAL 9000

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Als Ergänzung noch, wie ich auf meinen Wert gekommen bin: Das Gegenereignis zu

Zitat:

dass es mindestens zwei verschiedene Tage im Jahr gibt, die jeweils mindestens zweimal als Geburtstagstermine unter den 8 Leuten vorkommen?

ist ja

Zitat:

es gibt maximal einen Tag, der mehrfach als Geburtstag unter den 8 Leuten vorkommt

Das bedeutet

a) Gar kein Tag kommt mehrfach vor. Das geschieht mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_0=\frac{365!}{357!\cdot 365^8} \end{eqnarray*}$ .

b) Genau ein Tag kommt mehrfach vor, sagen wir genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -mal, mit möglichen Werten $\begin{eqnarray*} 2\leq k\leq 8 \end{eqnarray*}$ . Dann hat man 365 Möglichkeiten diesen einen Tag auszuwählen, $\begin{eqnarray*} \binom{8}{k} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aus 8 Leuten auszuwählen, die diesen Geburtstag haben, und schließlich noch $\begin{eqnarray*} \frac{364!}{(364-(8-k))!} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, den anderen $\begin{eqnarray*} (8-k) \end{eqnarray*}$ Leuten davon sämtlich verschiedene Geburtstage zuzuweisen. Das ergibt Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} p_1 = \frac{365\cdot 364!}{365^8} \sum_{k=2}^8 \binom{8}{k} \frac{1}{(356+k)!} \end{eqnarray*}$

Das Endergebnis ist dann $\begin{eqnarray*} 1-p_0-p_1 = 1-\frac{365!}{365^8}\left( \frac{1}{357!} + \sum_{k=2}^8 \binom{8}{k} \frac{1}{(356+k)!} \right) = \frac{1\,322\,406\,652\,025\,732}{863\,078\,009\,304\,453\,125} \end{eqnarray*}$ .

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