Division von Potenzreihen

17.04.2020, 11:35

FelNa1109

Division von Potenzreihen

Hi, ich möchte zeigen, dass für eine Reihe der Form
$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{n \geq 0} a_n z^{n/m} \in \mathbb{C}((z^{1/m})) \end{eqnarray*}$
folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{f}{f^{\prime}} = c + \sum_{n>0} c_n z^{n/m} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{Q}, c_n \in \mathbb{C}, m,n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ wobei die Derivation $\begin{eqnarray*} ^{\prime} = z \frac{\partial}{\partial z} \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Idee:
Das der Quotient wieder eine Potenzreihe ist, ist an für sich klar. Daher wollte ich standartmäßig
$\begin{eqnarray*} h(z) f^{\prime}(z) = f(z) \end{eqnarray*}$ lösen und dann nach den Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ auflösen. Ich habe blos zwei Probleme:

1. durch die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wird der Summationsindex geschiftet, sodass ich nicht umstellen kann.

2. Ich sehe ehrlich gesagt nicht wirklich, warum $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gelten soll...

Hier aber mein Weg bisher:

$\begin{eqnarray*} h(z)f^{\prime}(z) = \sum_{i \geq 0} c_i z^{i/m} \sum_{j > 0}a_j \frac{j}{m} z^{j/m}<br /> = \sum_{i \geq 0} \sum_{j > 0}c_i a_j \frac{j}{m} z^{j+i/m}<br /> =\sum_{n \geq 0} \sum_{i > 0}c_i a_{n-i} \frac{i}{m} z^{n/m}<br /> = \sum_{n \geq 0} z^{n/m} \sum_{i > 0}c_i a_{n-i} \frac{i}{m}<br /> \end{eqnarray*}$

Wäre der Index richtig, würde ich jetzt mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gleichsetzen und $\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{i=0}^n c_i a_{n-i} \frac{i}{m} \end{eqnarray*}$ bekommen, womit ich die $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ rekursiv bestimmen könnte.

17.04.2020, 12:58

HAL 9000

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Wirkliche Potenzreihen im Wortsinn sind das ja nicht, was du da betrachtest.

$\begin{eqnarray*} g(z) = \sum_{n\geq 0} a_n z^n \end{eqnarray*}$ wäre eine, und daraus hervorgehend könnte man $\begin{eqnarray*} f(z):=g\left( z^{\frac{1}{m}}\right) \end{eqnarray*}$ definieren.

Das sollte dann dasselbe wie bei dir sein, denn auch wenn das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} \left(z^u\right)^v \stackrel{?}{=} z^{uv} \end{eqnarray*}$ für beliebige komplexe $\begin{eqnarray*} z\neq 0 \end{eqnarray*}$ sowie reelle $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ bei reiner Betrachtung der Potenz-Hauptwerte nicht gilt, so ist es im Spezialfall $\begin{eqnarray*} \left(z^{\frac{1}{m}}\right)^n = z^{\frac{n}{m}} \end{eqnarray*}$ wohl doch noch gültig (wenn ich mich nicht irre).

Vielleicht sollte man das ganze wirklich erst auf der Ebene der "echten" Potenzreihen $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ durchziehen, bevor man zu $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ übergeht - irgendwie sieht mir dieses dauernde Durchschleifen dieser $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ ziemlich lästig aus, und ohne inhaltlichen Mehrwert.

Zitat:

Original von FelNa1109
wobei die Derivation $\begin{eqnarray*} ^{\prime} = z \frac{\partial}{\partial z} \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist tatsächlich so gemeint? Weil man sonst ja üblicherweise unter $\begin{eqnarray*} {}^{\prime} \end{eqnarray*}$ nur den Ableitungsoperator meint, d.h. $\begin{eqnarray*} {}^{\prime} = \frac{\partial}{\partial z} \end{eqnarray*}$ . verwirrt

17.04.2020, 13:19

FelNa1109

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Hallo, erstmal Danke für die Antwort. Genau genommen schau ich mir Puiseux Reihen an. Du meinst als, ich sollte mir lieber mit $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial \tilde{z}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^{\prime}(\tilde{z}) = f^{\prime}(z^{1/m}) = \sum_{n>0}a_n n(z^{1/m})^{n-1} = \sum_{n \geq 0}a_{n+1}(n+1)z^{n/m} \end{eqnarray*}$ anschauen?
Damit wäre (bei selben vorgehen wie oben) das Problem mit dem Indexschift gelöst. Allerdings würde ich dann für den ersten Koeffizienten
$\begin{eqnarray*} c_0 = \frac{a_o}{a_1} \end{eqnarray*}$
bekommen, was zwar ein "Bruch" ist aber wegen $\begin{eqnarray*} a_i \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ keineswegs in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ liegen muss...

17.04.2020, 14:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von FelNa1109
Du meinst als, ich sollte mir lieber

Nein, ich wollte nur sicher gehen, dass es sich nicht um einen versehentlichen Verschreiber geht - mehr nicht.

17.04.2020, 16:29

FelNa1109

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Es kann schon sein, dass ich da was mit den Derivationen verwechselt habe. Wie könnte ich den weiterkommen, bei dem Problem in meinem letzten Kommentar?

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