Jordan-Normalform

17.04.2020, 13:36

dastimle

Jordan-Normalform

Hallo liebes Board,
es geht um die Jordan Normalform.
Ich habe eine 4x4 matrix gegeben, von der ich die JNF bestimmen soll.
Jetzt habe ich die EW bestimmt was wie folgt im Zwischenschritt aussah:

((3-x)(-3-x)+9)*((4-x)*(-4-x)+16)
zusammengefasst wäre das x^4
folglich sind die EW doch alle =0 und die algebraische vielfachheit 4
ware die hauptdiagonale dann null, genauso wie alle nebenblöcke?

17.04.2020, 14:06

jester.

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Hallo,

ich weiß nicht genau, was du mit "Nebenblöcken" meinst. Alles andere ist aber richtig, einziger EW mit alg. Vielfachheit 4 ist 0.

Somit gibt es - ohne weitere Informationen - also folgende Möglichkeiten für die JNF:
$\begin{eqnarray*} 0, ~ \begin{pmatrix}0\\1&0\\&&0\\&&&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1&0\\&&0\\&&1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1&0\\&1&0\\&&&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1&0\\&1&0\\&&1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.04.2020, 22:22

dastimle

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Vielen lieben Dank.
Okay. Soweit mit dem Gedanken war ich auch schon.
Jetzt ist allerdings in der Aufgabe explizit die Frage nach der reellen Jordan-Normalform der Matrix.
Das ganze wäre doch für den komplexen Bereich oder?

18.04.2020, 06:46

jester.

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Nein. Wenn du eine reelle Matrix mit dem o.g. charakteristischen Polynom hast, dann gibt es auch eine reelle invertierbare Matrix, mit der du deine Matrix auf eine der von mir aufgelisteten Jordan-Normalformen konjugieren kannst.

Das einzige, was $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ aufgrund seiner algebraischen Abgeschlossenheit bietet, ist dass jede Matrix trigonalisierbar ist. Deine Matrix ist aber schon über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ trigonalisierbar.

Weißt du, wie du nun weiter vorgehen musst, um die JNF deiner Matrix zu bestimmen?

18.04.2020, 08:19

dastimle

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-x & -1 & -1 & 7 \\ 9 & -3-x & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 4-x & -8 \\ 0 & 0 & 2 & -4-x \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

EW = 0
Algebraische VF = 4
Geometrische VF = 2

Und nach einem bestimmten schema habe ich heraus gefunden:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix}0\\1&0\\&&0\\&&1&0\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Ich dachte allerdings, dass ich hier etwas anderes machen muss, da die reelle JNF gefragt ist.
Wie oder wo erkenne ich den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in dem Fall bzw allgemein

18.04.2020, 13:52

hawe

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Wenn ich richtig abgeschrieben habe, erhalte ich zu der Matrix einen EV (und keine 2)
$\begin{eqnarray*} \scriptsize EV \, := \left(\begin{array}{r}\frac{1}{3}\\1\\0\\0\\\end{array}\right) \end{eqnarray*}$
Dann finde ich zu
(A - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ E)^4
4 Hauptvektoren ei Standardbasis von denen e3 und e4 nicht im Kern von (A - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ E)^3 liegen.
Wenn man jetzt z.B. zu e3 die weiteren HVs sucht komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \scriptsize T \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}60&14&-1&0\\180&-18&-7&0\\0&0&4&1\\0&0&2&0\\\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \scriptsize T^{-1} A T \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

das ist a weng weit weg von dem was Du angegeben hast?
gerechnet mit https://www.geogebra.org/m/cbrraju7

19.04.2020, 10:23

jester.

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Zitat:

Original von dastimle
Ich dachte allerdings, dass ich hier etwas anderes machen muss, da die reelle JNF gefragt ist.
Wie oder wo erkenne ich den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in dem Fall bzw allgemein

Grundsätzlich betreibt man lineare Algebra erstmal immer über einem festgelegten Körper. Man kann zwar auch oft zu anderen Körpern übergehen ("Körpererweiterung", so wie zum Beispiel der Übergang von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ), jedoch trifft man dann eigentlich eine Aussage über eine andere mathematische Struktur.

Das klingt jetzt recht vage, daher mal ein konkretes Beispiel. Wir betrachten die Matrix $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix}-7 & -10 \\ 5 & 7\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ . Einer der Grundgedanken - wenn nicht der Grundgedanke schlechthin - hinter der Jordan-Normalform ist die Zerlegung des Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , auf welchem $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Endomorphismus wirkt, in kleinere Teilräume, welche jeweils invariant unter dem durch $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bewirkten Endomorphismus sind.
Sei also mal $\begin{eqnarray*} V:=\mathbb{R}^{2\times 1} \end{eqnarray*}$ . Die Frage ist nun, ob es zwei eindimensionale Teilräume $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} V=U_1 \oplus U_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AU_i \subseteq U_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \in \{1,2\} \end{eqnarray*}$ .

Werfen wir nun unsere Maschinerie an, so stellen wir fest, dass das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ das Polynom $\begin{eqnarray*} \chi_A = X^2+1 \end{eqnarray*}$ ist. Dieses Polynom ist über unserem Körper (das ist immer noch $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) irreduzibel. Also sind $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ die einzigen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -invarianten Teilräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , sodass eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in eindimensionale $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -invariante Teilräume unmöglich ist.

Randbemerkung: Manchen Definitionen folgend gibt es dann auch keine Jordan-Normalform von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Manche Defintionen erklären hier die Begleitmatrix (https://de.wikipedia.org/wiki/Begleitmatrix) zur Jordan-Normalform. Das wäre hier also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

An dieser Stelle können wir natürlich mal wieder $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ als "Wunderwaffe" hervorholen, $\begin{eqnarray*} X^2+1 = (X-i)(X+i) \end{eqnarray*}$ faktorisieren und die Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}i \\ &-i\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als JNF der nun über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ aufgefassten Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ erhalten.
Aber was haben wir damit eigentlich getan? Wir haben uns - streng genommen - eine andere Matrix $\begin{eqnarray*} A_{\mathbb{C}} := \begin{pmatrix}-7&-10 \\ 5&7 \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ genommen und ihre Wirkung auf $\begin{eqnarray*} V_{\mathbb{C}} := \mathbb{C}^{2\times 1} \end{eqnarray*}$ angesehen. Wir haben festgestellt: Diesen $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum können wir in zwei $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}_{\mathbb{C}} \end{eqnarray*}$ -invariante eindimensionale Teilräume $\begin{eqnarray*} W_1, ~W_2 \end{eqnarray*}$ zerlegen.
Aber das ändert alles nichts an unseren Feststellungen über den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Dieser ist und bleibt - in Bezug auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -invariante Teilräume - unzerlegbar.

Vielleicht wurde mit diesem Text ja etwas Licht ins Dunkel gebracht...

19.04.2020, 16:09

dastimle

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Vielen herzlichen Dank.
Ich komme immernoch nicht ganz klar, aber ich versuche mich reinzulesen smile

Dieses Semester ist echt für den A**** durch Online Vorlesungen.
Die Professoren stellen nur das Skript bereit, und Ansprechpartner oder
Tutoren gibt es leider auch nicht :/

Bin Leider jemand, der gerne Beispiele dafür rechnet. Wenn allerdings der
Ansatz fehlt, oder eine bestimmte Sache nicht erklärt wird, fällt mir das schwer :/

20.04.2020, 18:33

dastimle

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hallo ihr.
Also ich habe jetzt die Matrix in die JNF gebracht. Ich denke auch, dass das soweit stimmig ist.

(Wer es sich ansehen möchte...)

drive.google.com/file/d/1-GVoQA-oEPwhuJPXVKHUGSIHvZ9e5cpU/view?usp=drivesdk

drive.google.com/file/d/1-BHIDpTNZF-3EMgUrJf8ekyHyMXouhXh/view?usp=drivesdk

nun fehlt mir aber immer noch die Überführung in die reelle JNF.
meine Idee war, die Eigenwerte = a+bi zu setzen um dann auf die Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu kommen. Kann es sein, dass die reelle JNF dieser Matrix eine Null Matrix ist?

21.04.2020, 09:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von dastimle
nun fehlt mir aber immer noch die Überführung in die reelle JNF.

Hatten denn deine Eigenwerte einen imaginären Anteil? Es wurde doch schon gesagt:

Zitat:

Original von jester.
Deine Matrix ist aber schon über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ trigonalisierbar.

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