Funktionen im Integranden, nach denen nicht integriert wird

17.04.2020, 15:21

Integraltyp

Funktionen im Integranden, nach denen nicht integriert wird

Meine Frage:
Hallo, Freunde der ungebremsten Liebe!
Ich habe diese Frage schon einmal gestellt, sie wurde mir nicht beantwortet, weil sie eher nebensächlich war. Deshalb meine eigentlich nächste Frage:
Angenommen:
Man soll folgende Funktion integrieren:
$\begin{eqnarray*} \int cos(x^2) dx \end{eqnarray*}$
Nun führe ich folgende Substitution ein:
$\begin{eqnarray*} u = x^2 \Leftrightarrow du = 2xdx <br /> \Rightarrow \int \frac{cos(u)}{2x} du \end{eqnarray*}$
Was soll ich jetzt mit den 2x machen? Soll ich die wie eine Konstante behandeln, weil ich ja nicht danach integriere?

Meine Ideen:
.

17.04.2020, 15:42

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen im Integranden, nach denen nicht integriert wird
Hier handelt es sich um ein Fresnel-Integral. Es kann nicht durch andere elementare Funktionen beschrieben werden.

$\begin{eqnarray*} S(x)=\int\limits_{0}^{x} \! sin(t^2) \, dt, \quad C(x)=\int\limits_{0}^{x} \! cos(t^2) \, dt \end{eqnarray*}$
[attach]51031[/attach]

17.04.2020, 16:01

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei, will man pedantisch sein, der Ausdruck ›andere analytische Funktionen‹ gegen den Terminus ›elementare Funktionen‹ zu ersetzen ist.

17.04.2020, 16:06

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Finn_
Wobei, will man pedantisch sein, der Ausdruck ›andere analytische Funktionen‹ gegen den Terminus ›elementare Funktionen‹ zu ersetzen ist.

… insbesondere, weil ja $\begin{align*} S \end{align*}$ und $\begin{align*} C \end{align*}$ selbst analytisch sind. Ich hätte auch elementare Funktionen genommen, aber das ist ja auch ziemlich schwammig. Es scheint keinen eigenen Begriff dafür zu geben.

17.04.2020, 16:30

Integraltyp

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ging mir nicht um dieses bestimmte Beispiel, sondern, darum, was man mit dem x macht.
Anderes Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{x^2} dx \Rightarrow u = x^2 \Leftrightarrow du = 2xdx \Rightarrow \frac{1}{2} \int \frac{ \sqrt{u} }{x} du \end{eqnarray*}$
Was mache ich mit dem x? Es als Konstante behandeln, immerhin ist es bzgl. u eine Konstante?

17.04.2020, 16:35

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man substituiert, dann sollte man es vollständig tun. Sonst kommt man nicht weiter. Außerdem gilt: $\begin{eqnarray*} \dd u = 2x\dd x=2\sqrt{u}\dd u \end{eqnarray*}$ . Wobei man wieder dort ist, wo man angefangen hat.

17.04.2020, 17:00

Integraltyp

Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell kann man x immer in Form von u angeben, was, so meine ich, des Rätsels Lösung ist.
Übrigens, mir fällt jetzt erst auf, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = x \end{eqnarray*}$
lost

18.04.2020, 03:23

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Integraltyp
Übrigens, mir fällt jetzt erst auf, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = x \end{eqnarray*}$

Schon in der Schule kann man gar nicht oft genug betonen, dass man sich das so nicht merken sollte.

Neue Frage »

Antworten »

Funktionen im Integranden, nach denen nicht integriert wird

Verwandte Themen