Existenz Normalteiler und Auflösbarkeit

17.04.2020, 16:53

Phasma

Existenz Normalteiler und Auflösbarkeit

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe der Ordnung 105. Zeigen Sie:
a) $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ hat einen Normalteiler $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \#N=5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \#N=7 \end{eqnarray*}$ .
b) $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist auflösbar.

Meine Ideen:
Es gibt ja den Satz, dass eine $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ genau dann ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist, wenn sie die einzige $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppe ist. Also verwende ich den 3. Sylow-Satz, um die Anzahl der 5-Sylowgruppen und 7-Sylowgruppen zu bestimmen:
$\begin{eqnarray*} 105=3\cdot 5\cdot 7 \end{eqnarray*}$ ,
also
$\begin{eqnarray*} s_5\equiv1 \mod 5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_5|21 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_7\equiv1 \mod 7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_7|15 \end{eqnarray*}$

Also kommen für $\begin{eqnarray*} s_5 \end{eqnarray*}$ nur 1 und 21 in Frage, für $\begin{eqnarray*} s_7 \end{eqnarray*}$ nur 1 und 15. Wenn eines der beiden gleich 1 wäre, wäre ich fertig mit a), weil dann der obige Satz anwendbar wäre. Aber wie kann ich ausschließen, dass es 21 bzw. 15 Sylowgruppen sind?

17.04.2020, 17:41

Leopold

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Die 5-Sylowgruppen haben hier die Ordnung 5, zwei verschiedene von ihnen können daher außer dem neutralen Element keine Elemente gemeinsam haben. Gäbe es also 21 solche Gruppen, so hätte man schon $\begin{align*} 1 + 4 \cdot 21 = 85 \end{align*}$ Elemente von $\begin{align*} G \end{align*}$ verbraucht. Dann noch die vielen andern ...

17.04.2020, 17:51

Elvis

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Unter a) hast du geschrieben, welche Ordnung, also wie viele Elemente eine 5-Sylowgruppe bzw. 7-Sylowgruppe hat. Das neutrale Element ist immer enthalten in jeder Untergruppe. 21 5-Sylowgruppen hätten dann 1+21*4=85 Elemente, davon 84 der Ordnung 5. 15 7-Sylowgruppen hätten dann 1+15*6=91 Elemente, 90 der Ordnung 7. 1+84+90>105.
Du kannst nicht ausschließen, dass es 21 bzw. 15 Sylowgruppen sind, beachte das "oder" in der Behauptung.

17.04.2020, 17:56

Phasma

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Zitat:

Original von Leopold
Die 5-Sylowgruppen haben hier die Ordnung 5, zwei verschiedene von ihnen können daher außer dem neutralen Element keine Elemente gemeinsam haben.

Die 5 Sylowgruppen haben 5 Elemente, von denen alle außer dem neutralen Element die Ordnung 5 haben. Deshalb erzeugen sie gleich die ganze Gruppe. Also können zwei verschiedene 5-Sylowgruppen außer dem neutralen Element keine Elemente gemeinsam haben, weil sie sonst identisch wären. Verstehe ich das richtig?

Zitat:

Original von Leopold
Gäbe es also 21 solche Gruppen, so hätte man schon $\begin{align*} 1 + 4 \cdot 21 = 85 \end{align*}$ Elemente von $\begin{align*} G \end{align*}$ verbraucht. Dann noch die vielen andern ...

Ok, dasselbe analog für die 7-Sylowgruppen wären nochmal $\begin{eqnarray*} 6 \cdot 15=90 \end{eqnarray*}$ Elemente der Ordnung 7... Was aber ein Widerspruch ist, weil $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ja insgesamt nur 105 Elemente hat. Deshalb muss entweder $\begin{eqnarray*} s_5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} s_7 \end{eqnarray*}$ gleich 1 sein, daher hat $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ einen Normalteiler. Korrekt?

EDIT: Deine Antwort habe ich zu spät gesehen, Elvis, trotzdem danke!

18.04.2020, 10:58

Phasma

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Bei b) ist ja dann zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auflösbar ist.

Meine Ideen: Die Gruppe ist genau dann auflösbar, wenn ein Normalteiler $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und die Faktorgruppe $\begin{eqnarray*} G/N \end{eqnarray*}$ auflösbar sind.
Nach a) gibt es ja entweder einen Normalteiler der mit 5 Elementen, oder mit 7 Elementen.

Fall 1: $\begin{eqnarray*} |N|=5 \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall auflösbar, weil er Primzahlordnung hat. Außerdem gilt nach dem Satz von Lagrange $\begin{eqnarray*} |G/N|=\frac{|G|}{|N|}=21=7\cdot3 \end{eqnarray*}$ .
Nun könnte ich doch den Satz von Burnside anwenden, oder? Da 3 und 7 Primzahlen sind, muss $\begin{eqnarray*} G/N \end{eqnarray*}$ auflösbar sein und damit auch $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
Für den Fall mit $\begin{eqnarray*} |N|=7 \end{eqnarray*}$ funktioniert es genauso.

Jetzt habe ich gerade nochmal in meinem Algebra-Skript nachgelesen, und da steht: Der Satz von Burnside darf in der Staatsprüfung nicht verwendet werden! Wie löse ich die Aufgabe dann?

18.04.2020, 11:09

Elvis

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Kleine Gruppen und einfache Struktursätze darf man bestimmt benutzen. Zum auswendig lernen: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen
(Die Vorgabe, dass man Wissen nicht verwenden darf, ist mir unverständlich. Vielleicht fehlt es mir an dem notwendigen Respekt vor dem Staat und seinen überaus weisen Vertretern.)
Tipp: Zyklische Gruppen sind abelsch, also auflösbar.

18.04.2020, 11:39

Phasma

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Danke für den Hinweis. Die kleinen Gruppen helfen mir zumindest für den 2. Fall, also für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} |N|=7 \end{eqnarray*}$ ; da ist $\begin{eqnarray*} |G/N|=15 \end{eqnarray*}$ und damit nach der Liste der kleinen Gruppen zyklisch, also auflösbar.
Aber im ersten Fall ist $\begin{eqnarray*} |G/N|=21 \end{eqnarray*}$ ; wie kann ich zeigen, dass diese Faktorgruppe auch auflösbar ist?

18.04.2020, 12:52

Elvis

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Deine Fragen sind berechtigt. Die letzte Antwort findest du auf Seite 2 dieser (bayerischen Augenzwinkern

) Gesamtlösung : https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~...g/stF15T1A3.pdf

18.04.2020, 14:05

Phasma

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Prima, danke für den Link!

Eine allgemeine Sache noch: Bei vielen dieser Begriffe in Algebra tue ich mir total schwer, einen Zugang dazu zu bekommen. Ich meine, wenn ich in Analysis ein Integral oder eine Differentialgleichung oder so etwas vorgesetzt bekomme, ist das etwas "Handfestes", womit ich arbeiten kann.
Aber diese Begriffe aus der Algebra (so wie zum Beispiel "Normalteiler", "Auflösbarkeit", "Faktorgruppe", "p-Sylowgruppe" etc.) kann ich irgendwie nicht mit Leben füllen. Ich durchblicke oft auch nicht, wie sie überhaupt motiviert sind. Dazu gibt es dann jeweils noch so viele Sätze, die (für mich) einfach nicht intuitiv sind. Und gefühlt zig äquivalente Formulierungen, von denen man jedesmal eine andere braucht.
Meine Frage: Ist es überhaupt möglich, den abstrakten Begriffen aus der Algebra ein intuitives/anschauliches Verständnis zu bekommen und wenn ja, wie? (abgesehen davon, alle Definitionen/Aussagen einfach "stupide" auswendig zu lernen und möglichst viele Aufgaben zu üben).

18.04.2020, 14:23

Elvis

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Mir geht es nicht viel anders, nur sind meine Fähigkeiten anders verteilt. Algebra und Zahlentheorie sind meine Spezialgebiete, weil ich mir unter algebraischen Strukturen etwas handfestes vorstellen kann und gerne damit arbeite und immer mehr davon wissen und verstehen will. Integrale und Differentialgleichungen sind mir ein Gräuel, weil ich darin keine Systematik finde und immer nur vor Spezialfällen stehe, mit denen ich nichts anzufangen weiß. Ich schätze Funktionentheorie, weil die mehr Systematik bietet als Analysis, und ich kann mit Integralen in der Zahlentheorie und mit Differentialgleichungen in der Physik etwas anfangen, weil es in diesen beiden Gebieten konkret wird. Ich bin sicher, dass es jedem Menschen so oder so ähnlich geht mit der Mathematik, es gibt Bereiche, zu denen man einen gefühlsmäßigen Zugang hat und sich wohlfühlt, und es gibt Bereiche, in denen das nicht der Fall ist. Für Prüfungen muss man sich auf beides vorbereiten, da muss man durch.

Die ursprüngliche Aufgabe der klassischen Algebra war einerseits das Lösen von Gleichungen, andererseits die Frage, was Rechnen eigentlich ist und womit man rechnen kann. Die moderne Algebra hat die Dinge, mit denen man rechnen kann in algebraische Strukturen übersetzt, das sind Mengen mit inneren und äußeren Verknüpfungen und Operatoren.

Der algebraischste aller Begriffe ist der Homomorphiesatz und die dazugehörigen Isomorphiesätze. Jede Struktur gibt Anlass zu Homomorphismen, jede Struktur hat Teilstrukturen, die als Kern und Bild von Homomorphismen auftreten so dass die Faktormenge (auch Quotientenmenge genannt) wieder eine entsprechende Struktur ergibt. Das sind Untervektorräume in Vektorräumen, Normalteiler in Gruppen, Ideale in Ringen, Körpern und Algebren, etc.

Schon in der Mengenlehre treten die Faktormengen als Mengen von Klassen äquivalenter Elemente bezüglich Aequivalenzrelationen auf. Quotientenstrukturen in der Algebra sind nichts anderes, nur dass die Relationen durch Homomorphismen induziert sind und dass die Faktormengen selbst algebraische Strukturen sind. An die Stelle der allgemeinen Aequivalenzrelationen treten in der Algebra die Kongruenzrelationen, das sind die strukturverträglichen Aequivalenzrelationen. Algebra ist zu einem großen Teil das Zusammenspiel von Strukturen und Morphismen, noch abstrakter wird dieser Zusammenhang in der Kategorientheorie untersucht.

Neben den charakteristischen Teilstrukturen und den Quotientenstrukturen helfen auch zusammengesetzte Strukturen wie Summen und Produkte bei der Lösung der Hauptaufgabe der Algebra, das ist die Klassifizierung der Strukturen. Dabei helfen auch die Untersuchungen der Strukturverbaende, das sind die algebraischen Verbände aus Teil- und Erweiterungsstrukturen.

Das folgende Bild (Idee und bessere Ausführung von Helmut Hasse) illustriert den Homomorphiesatz für einen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi:G\to H \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} 0_G\le ker(\varphi)\le G, 0_H\le im(\varphi)\le H \end{eqnarray*}$ , und es ist $\begin{eqnarray*} G\,/\,ker(\varphi)\cong im(\varphi) \end{eqnarray*}$ . Mit diesem Bild vor dem inneren Auge kommt man durch die ganze Algebra.

19.04.2020, 09:39

Elvis

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Die Geschichte der auflösbaren Gruppen hängt ganz eng mit dem klassischen Problem der Auflösung von Polynomgleichungen zusammen und gipfelt in der Galoistheorie, deren Hauptsatz einen Verbandsantiisomorphismus zwischen Galoisgruppe (=Automorphismengruppe) und Teilkoerperverband einer galoisschen Körpererweiterung nachweist. Eine Gleichung hat genau dann eine Lösung in Wurzeln, wenn die zugehörige Galoisgruppe auflösbar ist.Siehe den Begriff "auflösbare Gruppe" bei Wikipedia, falls du mehr wissen willst.
In 3000 Jahren ist eine riesige Menge an interessanten Begriffen in der Mathematik entstanden. Ziegler sagt, es gibt 3 Arten der Mathematik, M1 ist die Alltagsmathematik, M2 ist die Geschichte der Mathematik und M3 ist die wissenschaftliche Mathematik, die aus zig - tausend Teilgebieten besteht.

19.04.2020, 10:29

Phasma

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DANKE für deine Erklärungen, die für mich Struktur in dieses große Feld gebracht haben!
Obwohl ich das Gefühl habe, dass ich das Ganze immer noch nicht so richtig durchdrungen habe. Aber ich werde mich mit diesen Themen ja noch einige Zeit beschäftigen und dann verbessert sich das Verständnis dafür bestimmt noch.

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