Q-Vektorraum in komplexen Zahlen gesucht

17.04.2020, 18:00

FelNa1109

Q-Vektorraum in komplexen Zahlen gesucht

Ich bin auf der Suche, nach einem $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} M \oplus \mathbb{Q} = \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Idee:
Es ist ja $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Und ein Unterraum dessen ist rational, wenn es eine Basis in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^2 \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ ) gibt. Man könnte also für Unterräume $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ evtl. $\begin{eqnarray*} M := U \cap \mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ betrachten. An für sich hänge ich hier ziemlich fest... Wenn ich so eine direkte Summe sehe, muss ich eigentlich immer zuerst an irgendwas orthogonales denken. Problem ist blos, das die einzigen Unterräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , nur $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ selbst und $\begin{eqnarray*} \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$ sind.

17.04.2020, 18:09

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorräume sind alle algebraischen und nichtalgebraischen Zahlkörper, alle sind Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Da gibt es so viele davon, dass nicht einmal ich alles davon weiß.
Ob deine Suche Erfolg haben kann weiß ich noch nicht. Wie kommst du darauf, dass es so eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ geben könnte ?

17.04.2020, 18:17

FelNa1109

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich arbeite gerade ein Buch durch, was dieses Resultat bei einer wichtigen Konstruktion verwendet. Ich selber finde das auch alles andere als trivial und suche daher nach einem Weg, überhaupt ein Beispiel dafür zu konstruieren.

17.04.2020, 18:22

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das Buch diese Menge benutzt, dann muss dieses Buch sagen, wo diese Menge her kommt.

17.04.2020, 18:30

FelNa1109

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Wenn das Buch diese Menge benutzt, dann muss dieses Buch sagen, wo diese Menge her kommt.

Ich hab's dem Buch ausgerichtet, bisher hat es mir nicht geantwortet. Spaß beiseite! In dem Buch wird nur formal gesagt, dass es sowas gibt - und das wir sowas nehmen. Ich hab aber bisher nichts dazu gefunden...

17.04.2020, 18:37

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie heißt das Buch ?

17.04.2020, 18:56

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Muß es nicht eine solche Menge geben, wenn wir an das Auswahlaxiom und seine äquivalenten Beschreibungen denken? Denn dann besitzt der $\begin{align*} \mathbb{Q} \end{align*}$ -Vektorraum $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ eine Basis $\begin{align*} \left( c_{\nu} \right)_{\nu \in N} \end{align*}$ mit einer geeigneten Indexmenge $\begin{align*} N \end{align*}$ . Man darf annehmen, daß die 1 unter den Basiselementen vorkommt, etwa $\begin{align*} 1 = c_{\nu_0} \end{align*}$ . (Falls nicht, nehme man eine Darstellung

$\begin{align*} 1 = \sum_{\nu \in N} \varepsilon_{\nu} c_{\nu} \ \ \text{mit} \ \varepsilon_{\nu} \in \mathbb{Q}, \ \text{fast alle} \ \varepsilon_{\nu} = 0 \end{align*}$

In dieser muß es einen Index $\begin{align*} \nu_0 \end{align*}$ geben mit $\begin{align*} \varepsilon_{\nu_0} \neq 0 \end{align*}$ . Man tausche das zugehörige $\begin{align*} c_{\nu_0} \end{align*}$ gegen 1 aus. Dann bleibt die Basiseigenschaft erhalten.)

Nun wird $\begin{align*} \mathbb{Q} \end{align*}$ von 1 erzeugt. Alle anderen Basiselemente erzeugen einen Unterraum $\begin{align*} M \end{align*}$ , für den

$\begin{align*} M \oplus \mathbb{Q} = \mathbb{C} \end{align*}$

gilt. Ob man bei dieser Konstruktion aber noch wirklich von einer direkten Summe spricht, weiß ich nicht sicher, weil in ganz entfernten Bereichen meines Gedächtnissen irgendetwas von endlich-dimensional herumschwirrt. Und gesehen hat $\begin{align*} M \end{align*}$ auch noch nie jemand wirklich. Das sind die Absonderlichkeiten, die sich aus dem Auswahlaxiom ergeben.

17.04.2020, 19:00

FelNa1109

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt noch ein wenig über algebraische Zahlenkörper nachgedacht. Und zwar gilt doch (jetzt am Beispiel von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ , d.h. mit Basis $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ) beispielweise:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cong \mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Könnte ich evtl. mit diesem Ansatz weiter kommen? Evtl. durch Adjunktion einer $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ Basis?

17.04.2020, 19:12

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Prima Idee, wenn ich das richtig verstehe, hat Leopold genau das gemacht. Auch bei unendlicher Basis spricht man von direkter Summe. Jeder Vektor $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist endliche $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Linearkombination von Basisvektoren.

17.04.2020, 19:28

FelNa1109

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar! Dann Danke für die Hilfe an euch beide. Die Frage hat sich schneller erledigt, als erwartet smile

17.04.2020, 21:32

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hätten auch gleich den Basisergänzungssatz benutzen können. Dessen Beweis beruht gerade so auf dem Auswahlaxiom, wie Leopold es dargestellt hat.

Neue Frage »

Antworten »

Q-Vektorraum in komplexen Zahlen gesucht

Verwandte Themen