Frage zur harmonischen Reihe

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willyengland Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zur harmonischen Reihe
Ich habe gestern ein Video zur Riemann-Vermutung gesehen.
Die Funktion hat ja einen Pol bei .
Bedeutet das, dass die Reihe mit selbst für noch so kleines nicht mehr divergent ist?



IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur harmonischen Reihe
Korrekt. Das kann man leicht mit Cauchys Verdichtungssatz oder dem Integralkriterium zeigen. Man kann sogar zeigen, dass divergiert während
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, danke!
Das war mir so bisher nicht bewusst.
Ich wusste zwar, dass die harmonische Reihe divergiert und die geometrische konvergiert, aber dass es "so knapp" ist, das habe ich nie realisiert.

Außerdem habe ich gelernt, dass alles links von der 1 mit Schulmathematik nicht mehr verständlich ist, die sog. "analytische Fortsetzung". smile
Verstanden habe ich es nur insoweit, dass diese Fortsetzung eben nicht mehr die einfache Formel ist, die ich oben angegeben habe, sondern was komplizierteres, wo dann z.B. die berühmten -1/12 rauskommen für s = -1 usw.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur harmonischen Reihe
Die Reihen divergieren auch bereits sehr langsam. So ist und . Man kann das übrigens beliebig weiter treiben: .

Aufpassen muss man mit dem Startindex, so dass das Argument vom immer wohldefiniert ist. Wie langsam ein "dreifacher" Logarithmus wächst, kann man hier sehen. Am Plot würde man vermuten es konvergiert gegen eine Zahl strikt kleiner 1 Big Laugh

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