Unklarheit bei Definition eines Produkts

18.04.2020, 10:03

mathe231

Unklarheit bei Definition eines Produkts

Wir betrachten den Raum $\begin{eqnarray*} c_{00}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ (also den Raum aller Folgen, die ab einem Index 0 sind) mit der Supremumsnorm.

$\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ sei das typische Basiselement und $\begin{eqnarray*} e_n^* \end{eqnarray*}$ das typische Dualelement, durch "Rechnung".
(Ich schätze hier ist gemeint, dass $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ eine 1 an der n-ten Stelle hat und 0 sonst. Was ist mit dem "typischen Dualelement" gemeint? Wie sieht das aus?)

Definiere $\begin{eqnarray*} A_n = 2^n e_1\otimes e_n^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_n = \frac1n e_n\otimes e_1^* \end{eqnarray*}$ .

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} e_k\otimes e_j^* \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch lineare Fortsetzung von $\begin{eqnarray*} e_k\otimes e_j^*( e_n) = \delta_{jn} e_n \end{eqnarray*}$ .

Was ist das für ein Produkt? Steckt da Mathematik dahinter oder definieren wir das einfach so?
Wenn ich einen Vektor $\begin{eqnarray*} x=(x_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} c_{00}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ nehme, wie sieht dann $\begin{eqnarray*} A_n(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} B_n(x) \end{eqnarray*}$ aus?
Was wäre $\begin{eqnarray*} A_nB_n \end{eqnarray*}$ ?

19.04.2020, 19:01

mathe231

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jemand eine Idee? Gott

19.04.2020, 19:30

Elvis

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Wohin verschwindet der Index k bei der Produktbildung ?

19.04.2020, 20:44

mathe231

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Es sollte heißen Die Abbildung $\begin{eqnarray*} e_k\otimes e_j^* \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch lineare Fortsetzung von $\begin{eqnarray*} e_k\otimes e_j^*( e_n) = \delta_{jn} e_k \end{eqnarray*}$ .

19.04.2020, 21:40

Elvis

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Kann diese unbekannte Multiplikation das Tensorprodukt sein? Das Symbol würde dazu passen.

19.04.2020, 21:45

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Im endlichdimensionalen Fall ist das einfach $\begin{eqnarray*} e_k e_j^T \end{eqnarray*}$ , siehe Dyadisches Produkt

19.04.2020, 22:07

mathe231

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Wie sieht nun A_n(x) aus? Also bei den Basiselementen verstehe ich wie die Abbildung arbeitet aber bei einem normalen Vektor? Angeblich: A_n takes the nth component to the first component, multiplies with 2^n and sets all other components to 0.

19.04.2020, 22:09

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Genau das tut es. $\begin{eqnarray*} (e_1 e_n^T)u=e_1 (e_n^T u) \end{eqnarray*}$

20.04.2020, 08:46

mathe231

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Zitat:

Original von URL
Im endlichdimensionalen Fall ist das einfach $\begin{eqnarray*} e_k e_j^T \end{eqnarray*}$ , siehe

Okay, aber unser Vektorraum ist ja unendlichdimensional oder?

Oder meinst du mit endlichdimensional, dass unsere Vektoren nur endlich viele Einträge haben, die von 0 verschieden sind?

$\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ setzt die 1. Komponente an die n-te Komponente und multipliziert mit $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} A_nB_n \end{eqnarray*}$ setzt alle Komponente außer der 1. Komponente 0 und multipliziert mit $\begin{eqnarray*} 2^n/n \end{eqnarray*}$ .
Stimmt das so?

Außerdem haben wir
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\|A_nu\|_\infty=\lim_{n\to \infty}\|B_nu\|_\infty=0,\ \forall u \in C_{00}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$

aber nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\|A_nB_nu\|_\infty=0,\ \forall u \in C_{00}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$

Richtig?

20.04.2020, 18:45

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Das dyadische Produkt ist das endlichdimensionale Pendant zu deinem Fall und sollte dir eine Vorstellung geben, was da eigentlich passiert. Für festgehaltene Vektoren aus $\begin{eqnarray*} c_{00}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ kann man sich im Grunde auf den endlichdimensionalen Fall zurückziehen, weil ja bis auf endlich viele Komponenten alle gleich Null sind.
Deine Interpretationen von $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_nB_n \end{eqnarray*}$ sind richtig.

Für $\begin{eqnarray*} u=(u_1,\ldots ,u_n,\ldots )\in c_{00}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A_nB_n(u)=\frac{2^n}{n}(u_1,0,0,\ldots) \end{eqnarray*}$ und der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ existiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} u_1=0 \end{eqnarray*}$

Edit: Korrektur nach Hinweis. $\begin{eqnarray*} u_1=0 \end{eqnarray*}$ ist richtig

22.04.2020, 12:14

mathe231

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Zitat:

Original von URL
Das dyadische Produkt ist das endlichdimensionale Pendant zu deinem Fall und sollte dir eine Vorstellung geben, was da eigentlich passiert. Für festgehaltene Vektoren aus $\begin{eqnarray*} c_{00}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ kann man sich im Grunde auf den endlichdimensionalen Fall zurückziehen, weil ja bis auf endlich viele Komponenten alle gleich Null sind.
Deine Interpretationen von $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_nB_n \end{eqnarray*}$ sind richtig.

Für $\begin{eqnarray*} u=(u_1,\ldots ,u_n,\ldots )\in c_{00}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A_nB_n(u)=\frac{2^n}{n}(u_1,0,0,\ldots) \end{eqnarray*}$ und der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ existiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1=0 \end{eqnarray*}$ reicht, oder? $\begin{eqnarray*} A_nB_n \end{eqnarray*}$ setzt ja die restlichen Komponenten sowieso gleich Null

22.04.2020, 14:23

mathe231

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Und stimmt das überhaupt?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\|A_nu\|_\infty=0,\ \forall u \in C_{00}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$

Glaube eigentlich nicht dass man das sagen kann, oder?

$\begin{eqnarray*} A_n(u)=2^n(u_n,0,0\ldots) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}u_n=0 \end{eqnarray*}$ wegen des Raumes den wir betrachten. Aber $\begin{eqnarray*} 2^n/n \end{eqnarray*}$ divergiert

22.04.2020, 15:08

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$\begin{eqnarray*} u_1=0 \end{eqnarray*}$ reicht, danke, habe es korrigiert.
Wegen $\begin{eqnarray*} u\in c_{00}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u_n=0 \end{eqnarray*}$ für hinreichend große n, also auch $\begin{eqnarray*} A_nu=0 \end{eqnarray*}$

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