Grenze für analytische Funktion gesucht

18.04.2020, 20:09	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenze für analytische Funktion gesucht Hi, ich habe folgendes Problem. Und zwar habe ich eine analytische Funktion auf der punktierten Scheibe $\begin{eqnarray} U := \left\{ z \in \mathbb{C} : 0 < \|z\| < R \right\} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f: U \to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ Ich möchte nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|f\| \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \|z\|^N \end{eqnarray}$ für ein geeignetes $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ in einer Umgebung beschränkt ist. Meine Ideen: Zuerst dachte ich ja an das Schwarzsche Lemma https://de.wikipedia.org/wiki/Schwarzsches_Lemma, wobei mir aber gleich das Problem mit dem Nullpunkt auffiel. Nächster flüchtiger Einfall, war das ich mich irgendwie erinnere, dass es möglich war (endliche) Potenzreihen-Entwicklungen irgendwie so abzuschätzen: $\begin{eqnarray} c \|z\|^N \leq \|P(z)\| \leq C \|z\|^N \end{eqnarray}$ wobei man $\begin{eqnarray} c,C \end{eqnarray}$ aus den Koeffizienten erhalten kann.
18.04.2020, 20:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränkte holomorphe Funktion Ist $\begin{eqnarray} f(z) = \frac 1 z \end{eqnarray}$ nicht ein Gegenbeispiel?
18.04.2020, 20:49	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke nicht. Aber das hat mich glaub ich auf eine Idee gebracht... Mal sehen ob das so geht: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hat einen Pol der Ordnung $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} z_0=0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ es existiert eine Umgebung $\begin{eqnarray} V \subset U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1/f \in O(V \setminus \left\{ z_0 \right\}) \end{eqnarray}$ mit hebbarer Singularität in $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ von Ordnung $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1/f)(z) = (z - z_0)^N g(z) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(z) \neq 0 \end{eqnarray}$ in einer Umgebung $\begin{eqnarray} W \subset V \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists k,K > 0 \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} k \leq \|g(z)\| \leq K \end{eqnarray}$ Da dann $\begin{eqnarray} g(z) = \frac{1}{f(z)(z-z_0)} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} k \leq \frac{1}{\|f(z)\|\|z-z_0\|^N} \leq K \end{eqnarray}$ Umstellen, verwenden von $\begin{eqnarray} z_0=0 \end{eqnarray}$ und setzen von $\begin{eqnarray} c:=1/k, C:=1/K \end{eqnarray}$ liefert schließlich: $\begin{eqnarray} \frac{c}{\|z\|^N} \leq \|f(z)\| \leq \frac{C}{\|z\|^N} \end{eqnarray}$ In meinem Fall, wäre dann $\begin{eqnarray} N=1 \end{eqnarray}$ . Approved?
18.04.2020, 21:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss $\begin{eqnarray} c > 0 \end{eqnarray}$ sein oder darf auch $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ sein? Ansonsten gibt es viele Gegenbeispiele: $\begin{eqnarray} f(z) = \frac 1 z - z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z = 1 \end{eqnarray}$ . Die andere Schranke scheint richtig zu sein, wenn $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ negativ sein darf.
19.04.2020, 18:09	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir das nochmal angeschaut und so ganz klappt das nicht, weil ich mit den Vorrausetzungen was verwechselt habe. Ich habe als Vorrausetzung eine analytische Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in der punktierten Umgebung und soll zeigen, dass sie dort durch $\begin{eqnarray} \|z\|^N \end{eqnarray}$ beschränkt ist. Ich weiß nicht ob sie Pole im Nullpunkt hat.
19.04.2020, 18:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die untere Schranke müsste dennoch $\begin{eqnarray} c = 0 \end{eqnarray}$ sein, also trivial sein. Siehe z.B. $\begin{eqnarray} f(z) = z+1 \end{eqnarray}$ .
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