Verwirrung- Dirac Delta und Integration

18.04.2020, 21:12	MCMC	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwirrung- Dirac Delta und Integration Meine Frage: Hallo, Ich beschäftige mich momentan mit sequentiellen Monte Carlo Methoden und versuche das Konzept mit der Dirac Delta Funktion, um eine Verteilung zu definieren, zu verstehen. Meine Ideen: Die Dirac Delta "Funktion" ist ja sogesehen keine richtige Funktion und sollte streng mathematisch eher als eine Grenzfunktion angesehen werden (wie z.B eine Normalverteilung dessen Varianz gegen null geht) Und wenn man mathematisch korrekt bleiben will, sollte man (wie viele Physiker es aber tun) keine Integrale damit definieren, weil sie eben bzgl. des Lebesgue Maßes nicht stetig ist und man so eine Funktion nicht integrieren kann. Folgendes Problem. Ich habe K samples $\begin{eqnarray} x^i_0,i=1,..K \end{eqnarray}$ , die einen stochastischen Prozess $\begin{eqnarray} X_t \end{eqnarray}$ zum Zeitpunkt t=0 repräsentiert.Damit definiere ich die "Dichtefunktion" zu diesem Zeitpunkt als $\begin{eqnarray} p(x_0)=\frac{1}{K} \sum\limits_{i=1}^{K} \delta(x_0 - x^i_0). \end{eqnarray}$ Nun gilt im allgemeinen diese Formel, um aus einer "initial Distribution" eine "Forecast" Dichtefunktion bzgl. $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ zu definieren : $\begin{eqnarray} p(x_1)= \int p(x_1 \| x_0) p(x_0) dx_0 \end{eqnarray}$ In der Ausarbeitung hat der Autor als initial Distribution die oben beschriebene (mit der Dirac Funktion) gewählt und hat dann die forecast Distribution wie folgt generiert: $\begin{eqnarray} p(x_1)= \int p(x_1 \| x_0) p(x_0) dx_0 = \frac{1}{K} \sum\limits_{i=1}^{K} p(x_1 \|X_0= x^i_0) \end{eqnarray}$ Was ich nicht verstehe ist, wieso man hier integrieren darf wenn $\begin{eqnarray} p(x_0) \end{eqnarray}$ die Dirac Funktion beinhaltet? Ist hier das Integral nicht bzgl. des Lebesgue Maßes gemeint ? Bedeutet hier $\begin{eqnarray} dx_0 \end{eqnarray}$ Integration bezüglich des Maßes was von der Variable $\begin{eqnarray} X_0 \end{eqnarray}$ induziert wird? Oder wird implizit angenommen dass die Dirac Funktion eine Grenzfunktion ist und damit integriert wird.. Ich hoffe jemand verstehe worauf ich hinaus will und kann mir weiterhelfen. Liebe Grüße
18.04.2020, 22:02	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verwirrung- Dirac Delta und Integration Diracsche Deltafunktion $\begin{eqnarray} \delta (x) \end{eqnarray}$ ist dazu da, daß man Formeln, die von einer gleichmäßigen (stetigen) Verteilung ausgehen, auch dann verwenden kann, wenn man in Wirklichkeit diskrete Ereignisse hat. Beispiel: Ein Zufallsgenenerator liefert mir im Intervall [0,1] gleichverteilte Zahlen. Wenn ich die Wahrscheinlichkeit wissen will, mit der meine Zahl dann zwischen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ liegt, muß ich integrieren. $\begin{eqnarray} P(a<x<b)=\int_{a}^{b} \! h(x) \, dx \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} h(x)=\cases{1 &0 < x < 1 \\0& \text{sonst}} \end{eqnarray}$ Nehme ich jedoch einen Würfel, dann bekomme ich ganze Zahlen. Damit wird $\begin{eqnarray} h(x)=\frac 16\sum\limits_{k=1}^{6} \delta(x-k) \end{eqnarray}$ Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 oder 2 zu würfeln, beträgt dann $\begin{eqnarray} p(\{1,2\})=\int\limits_{0}^{2.5} \! h(x)\dd x =\frac 16 \int\limits_{0}^{2.5} \! \sum\limits_{k=1}^{6} \delta(x-k)\dd x =\frac 16 (1+1)=\frac 13 \end{eqnarray}$ Die Delta-Funktion ist dazu da, das man sie irgendwann integriert. Es gilt: $\begin{eqnarray} \delta(x-k)=\cases{\infty & x=k\\0 & \text{sonst}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(x)\,\delta(x-k) \, dx=\cases{f(k) &a < k < b \\ 0 &\text{sonst}} \end{eqnarray}$
18.04.2020, 22:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
John von Neumann hat gezeigt, wie man die Quantenmechanik ohne Diracs Delta-"Funktionen" mathematisch korrekt formulieren kann. Wenn das geht und bei Diracs Formalismus stets dasselbe Ergebnis herauskommt wie bei von Neumann, darf man m.E. die einfachere Methode benutzen (auch wenn man nicht weiß, warum).

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