Dgl: (2x^3y^3-x) y'+2x^3y^3-y = 0

18.04.2020, 21:26

mbsukaba

Dgl: (2x^3y^3-x) y'+2x^3y^3-y = 0

Laut Hinweis ist die Dgl. exakt, wenn man durch x^3y^3 teilt.

(1) Wie kommst man auf diesen Faktor (ohne dass man alle Polynome ausprobiert)?

(2) Wie kommst man auf einen integrierenden Faktor, wenn man diesen Hinweis nicht hat?

18.04.2020, 23:09

Ulrich Ruhnau

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RE: Dgl: (2x^3y^3-x) y'+2x^3y^3-y = 0

Zitat:

verbesertes Original von mbsukaba
$\begin{eqnarray*} (2x^3y^3-x)\, y'+2x^3y^3-y = 0 \end{eqnarray*}$

Angenommen die Dgl würde anders lauten:

$\begin{eqnarray*} (2x^3y^2-x)\, y'+2x^2y^3-y = 0 \end{eqnarray*}$

Dann wäre sie ohne weitere Umformung schon exakt. Eine exakte Dgl basiert auf einer zu ermittelnden Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y(x)) \end{eqnarray*}$ für die gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd f}{\dd x}=\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\dd y}{\dd x}+\frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Beide Teile der Dgl lassen sich vergleichen, wenn man sagt:

$\begin{eqnarray*} (2x^3y^2-x)\, y'=\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$ und außerdem $\begin{eqnarray*} 2x^2y^3-y=\frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt mußt Du nur noch $\begin{eqnarray*} f(x,y) = c \end{eqnarray*}$ bestimmen.

18.04.2020, 23:57

mbsukaba

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Was eine exakte Dgl. ist, weiß ich. Form P+Qy' = 0; P, Q partielle Ableitungen von F(x,y), Prüfung auf Exaktheit, etc.
Diese hier ist aber nicht exakt. Die Standardmechanismen zum Finden eines integrierenden Faktors liefern hier auch nichts.
Wie kommst man also auf die Division durch x^3y^3? Ich kann ja wohl kaum alle Möglichkeiten x^my^n ausprobieren, bis endlich eine passt. Und wie findet man einen int. Fakt., wenn die Mechanismen nichts liefern?

19.04.2020, 13:08

Ulrich Ruhnau

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RE: Dgl: (2x^3y^3-x) y'+2x^3y^3-y = 0

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

$\begin{eqnarray*} \left(2x^3y^2-x\right)\, y'+2x^2y^3-y = 0 \end{eqnarray*}$

Dann wäre sie ohne weitere Umformung schon exakt.
Jetzt mußt Du nur noch $\begin{eqnarray*} f(x,y) = c \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Was hältst Du davon?

$\begin{eqnarray*} \frac 23 x^3y^3-xy=c \end{eqnarray*}$

19.04.2020, 13:36

mbsukaba

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Ich brauche vorläufig erst einmal keine Lösung, sondern eine Methode. Aufgabe: Löse die Dgl. (und vergiss erst einmal alles, was hier steht). Wie gehst Du vor?

19.04.2020, 14:12

Mathema

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Zitat:

Original von mbsukaba
Die Standardmechanismen zum Finden eines integrierenden Faktors liefern hier auch nichts.

Ach ja? Das stimmt nicht. Deinen integrierenden Faktor kannst du doch hier leicht berechnen.

19.04.2020, 14:21

mbsukaba

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Ich rede von meiner Dgl. nicht von der von Ulrich Ruhnau. Wie findest Du dort "leicht" einen?

19.04.2020, 14:38

Mathema

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Ich auch.

Da in der DGL $\begin{eqnarray*} M(x,y)\dd x+ N(x,y)\dd y=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ symmetrisch bzgl. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sind kann man ein integrierenden Faktor in der Form $\begin{eqnarray*} f(xy) \end{eqnarray*}$ vermuten. Danach berechnet man eben $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{N_x-M_y}{xM-yN} \end{eqnarray*}$ .

In deinem Beispiel lautet die DGL $\begin{eqnarray*} (2x^3y^3-y) \dd x +(2x^3y^3-x) \dd y = 0 \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{6x^2y^3-1-6x^3y^2+1}{2x^4y^3-xy-2x^3y^4+yx}=\frac{-3}{xy}=\frac{-3}{z} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z=xy \end{eqnarray*}$

Als letztes berechnet man $\begin{eqnarray*} e^{\int f(z)\dd z} \end{eqnarray*}$ . Hier also:

$\begin{eqnarray*} e^{\int \frac{-3}{z}\dd z}=e^{-3 \ln z}=z^{-3} \end{eqnarray*}$

Also lautet dein integrierender Faktor $\begin{eqnarray*} (xy)^{-3} \end{eqnarray*}$ wie gewünscht.

19.04.2020, 15:11

mbsukaba

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Das mit der Symmetrie ist natürlich auch aufgefallen. Deine Gleichung für f(z) kannte ich allerdings noch nicht. Kann man das irgendwie herleiten / beweisen / begründen? (Ich kenne die Nenner Q oder P oder xM+yN, aber bisher nicht mit Minus.) Was ist Bedingung für die Formel f(z)? (Die für plus z.B. funktioniert nur? / auch? für homogene M und N.)

19.04.2020, 15:27

Mathema

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Siehe z. B. dort:

https://www.youtube.com/watch?v=FtH-FXIO8zA

Für spezielle Multiplikatoren hier Seite 3:

https://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_a...akte_diffgl.pdf

19.04.2020, 15:31

mbsukaba

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Ich habe inzwischen auch etwas recherchiert:
Eine Dgl. M dx + N dy = 0 hat den int. Faktor 1/(Mx-Ny), falls M = y f(xy) und N = x g(xy).
(Richtig so?)

19.04.2020, 18:30

Leopold

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Du erwartest zu viel. Was du suchst, gibt es nicht. Es gibt keine Regel, mit der man in jeder Situation Differentialgleichungen exakt machen kann. Vielmehr ist es die Ausnahme, wenn das überhaupt geht. Und nur in speziellen Situationen kann man Glück haben, daß bestimmte Ansätze zum Ziel führen können. Die Aufgabensteller haben es da leichter, die kennen nämlich die Lösung schon, zum Beispiel

$\begin{align*} F = F(x,y) = \operatorname{e}^{xy} \cdot \sin(y) = C \end{align*}$

$\begin{align*} F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = \operatorname{e}^{xy} y \sin(y) \, , \ \ F_y = \frac{\partial F}{\partial y} \operatorname{e}^{xy} \left( x \sin(y) + \cos(y) \right) \end{align*}$

Dann stellen sie die Differentialgleichung auf:

$\begin{align*} \operatorname{e}^{xy} y \sin(y) ~ \dd x \ + \ \operatorname{e}^{xy} \left( x \sin(y) + \cos(y) \right) ~ \dd y \ = \ 0 \end{align*}$

sind noch so freundlich, zu vereinfachen, und stellen dem geneigten Prüfling die Aufgabe

$\begin{align*} y \sin(y) ~ \dd x \ + \ \left( x \sin(y) + \cos(y) \right) ~ \dd y \ = \ 0 \end{align*}$

So - und jetzt finde einen integrierenden Faktor. Natürlich ohne Kenntnis der Vorgeschichte.

19.04.2020, 19:37

mbsukaba

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Das ist mir schon klar. Was ich immer wieder suche (und was in der Literatur oft völlig ignoriert wird), sind einfach "Ideen" der Art, dass wenn eine Dgl. die und die Struktur hat, dann ist dies oder jenes ein sinnvoller Ansatz. Dass so etwas keine Garantie für eine Lösung liefert, ist auch klar, aber nun habe ich wieder einige Ideen mehr.

20.04.2020, 11:37

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von mbsukaba
Was ich immer wieder suche (und was in der Literatur oft völlig ignoriert wird), sind einfach "Ideen" der Art, dass wenn eine Dgl. die und die Struktur hat, dann ist dies oder jenes ein sinnvoller Ansatz..

Da kann ich nur ein uraltes Buch empfehlen: Kamke

20.04.2020, 12:12

abc1221

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evtl hilft das [attach]51048[/attach]

20.04.2020, 12:49

Elvis

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Da kann ich nur ein uraltes Buch empfehlen: Kamke

1945 ist ja noch nicht so lange her, gerade einmal 75 Jahre.

20.04.2020, 13:16

mbsukaba

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Kamke kenne ich, habe ich. Aber er wirft auch oft nur die Lösungen hin, ohne jede Erklärung.
(Das Buch gibt es außerdem für etwa 50 Euros als Nachdruck.)
Ich bin auf ein Buch gestoßen von Forsyth und Jacobsthal von 1912, komme aber leider nicht heran, weil die Bibliotheken geschlossen sind und Fernleihen nicht durchgeführt werden (Scheiss-Corona-Hysterie). Leider habe ich es auch noch nicht digital gefunden, obwohl es längst außerhalb des Urheberrechts steht.
Ich wundere (oder ärgere) mich auch seit Jahren darüber, dass, außer Kamke, seit Jahrhunderten keine sinnvolle Übersicht über Dgl. existiert. In jeder billigen Formelsammlung befinden sich Integraltabellen, aber für Dgl. hält das scheinbar niemand für nötig.

20.04.2020, 14:04

Elvis

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Wer es nötig hat, der schreibe ein Buch. Auf Amazon bekommt man 8000 Treffer, wenn man Bücher über Differentialgleichungen sucht. Reicht das noch nicht ? Dann kannst du auch mal was neues ansehen, müssen doch nicht immer nur alte Sachen sein. arxiv: Analysis of PDEs; Classical Analysis and ODEs; Differential Geometry. Ich sehe keinen beklagenswerten Mangel an Mathematik, man kann aber auch nicht erwarten, dass einem alles vorgekaut wird.

20.04.2020, 15:19

mbsukaba

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Ich stimme Dir absolut nicht zu. Das hat auch mit "vorkauen" nichts zu tun. ---
Wenn Du die 8000 Bücher erwähnst, dann sind die zu 99 % identisch (und oft auch oberflächlich). (Es gibt auch 20000000 Bücher zu Analysis 1, die alle das Gleiche schreiben.)
Wann hast Du das letzte Mal (oder überhaupt jemals) eine der vielen Tausend Umrechnungsformeln für Trigonometrie hergeleitet oder berechnet. Du schaust in der Formelsammlung nach, und nichts anderes.
Wann hast Du das letzte Mal ein Integral wirklich berechnet. Tatsache ist doch, Du benutzt die Integraltabelle der Formelsammlung oder einen Computer und lässt rechnen. ---
Kamke hat etwas gemacht, was dringend fällig war, nämlich Dgl. zu sammeln, zu gliedern und aufzulisten. Nur scheint er der einzige von vielen Millionen Mathematikern zu sein, der begreift, dass so etwas sinnvoll und auch notwendig ist.

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