Polynomring, Ideal, Körpererweiterung

19.04.2020, 10:49

Phasma

Polynomring, Ideal, Körpererweiterung

Sei $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ das von $\begin{eqnarray*} X^3-7 \end{eqnarray*}$ erzeugte Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ .
a) Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/J \end{eqnarray*}$ ein Körper ist und bestimmen Sie den Grad der Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/J\supset \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .
b) Bestimmen Sie ein Polynom $\begin{eqnarray*} P\in\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ , für das $\begin{eqnarray*} P+J \end{eqnarray*}$ multiplikatives Inverses von $\begin{eqnarray*} (X^2+1)+J \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/J \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist eine Art von Aufgabe, mit der ich mich ungemein schwer tue. Wie kann man sich denn $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/J \end{eqnarray*}$ vorstellen, d.h. welche Elemente liegen denn ganz konkret in $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/J \end{eqnarray*}$ ? Natürlich habe ich mir die Definitionen eines Ideals und eines Faktorrings noch einmal angeschaut, aber ich kann es nicht auf den konkreten Fall übertragen.

Zu a): Das Polynom $\begin{eqnarray*} X^3-7 \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel nach dem Eisenstein-Kriterium mit $\begin{eqnarray*} p=7 \end{eqnarray*}$ . In meinem Algebra-Skript gibt es ein Korollar, das besagt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/J \end{eqnarray*}$ dann ein Körper ist (da $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ein Körper ist).
Der Grad einer Körpererweiterung ist ja als Dimension eines Vektorraums definiert... Hier habe ich leider keinen Ansatz.

19.04.2020, 11:16

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Spoiler Alert: Der Körper, um den es hier geht, ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[3]{7}) \end{eqnarray*}$ . Ich kürze mal ab $\begin{eqnarray*} \alpha := \sqrt[3]{7} \end{eqnarray*}$ .
Man kann sich dann $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\alpha) = \{a+b\alpha + c \alpha^2 ~|~ a,b,c \in \mathbb{Q}\} \end{eqnarray*}$ vorstellen.

Jetzt schau dir mal folgende Abbildung an: $\begin{eqnarray*} f ~:~ \mathbb{Q}[X] \to \mathbb{Q}(\alpha), ~ X \mapsto \alpha \end{eqnarray*}$ (das beschreibt die Abbildung eigentlich schon komplett, genauer beschrieben ist sie aber dadurch, was sie mit einem kompletten Polynom macht: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n a_i X^i \mapsto \sum_{i=0}^n a_i \alpha^i \end{eqnarray*}$ ).

Mach dir klar, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist - und ein Ringhomomorphismus.
Dann solltest du schon an den Homomorphiesatz denken, der besagt, dass das Bild dieses Ringhomomorhpismus isomorph ist zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/\ker(f) \end{eqnarray*}$ .

Wir zäumen das Pferd jetzt gerade von einer etwas anderen Seite auf, als die Aufgabe das tut. Daher nächster Spoiler Alert: $\begin{eqnarray*} \ker(f) = J \end{eqnarray*}$ . Versuche mal, das zu beweisen.

Du fragst, was $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ genau ist. Das sind alle Polynome aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ , die Vielfache von $\begin{eqnarray*} X^3-7 \end{eqnarray*}$ sind. Das ist wirklich ganz einfaches Rechnen mit Polynomen, Polynomdivision, etc.
Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} 0\in J \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X^3-7 \in J \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X^6 -14X^3+49 \in J \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X^3-6 \notin J \end{eqnarray*}$ und so weiter.
Eine "konkrete Vorstellung", wie $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ "aussieht", ist dabei aber nicht so hilfreich...

Dagegen kann man sich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/J \end{eqnarray*}$ eigentlich ganz gut vorstellen, indem man sich überlegt, wie man darin rechnet. Und zwar rechnet man so mit den Polynomen, wie man es auch sonst tun würde, und fügt zusätzlich die Rechenregel $\begin{eqnarray*} X^3-7 = 0 \end{eqnarray*}$ hinzu.
Das gleiche Prinzip kennst du vom Modulo-Rechnen, z.B. in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ rechnet man "normal" mit der Zusatzregel $\begin{eqnarray*} 7=0 \end{eqnarray*}$ .
Genauso kennst du das Prinzip von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , was als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]/(X^2+1) \end{eqnarray*}$ aufgefasst werden kann - reelle Polynome mit der Zusatzregel $\begin{eqnarray*} X^2+1 = 0 \end{eqnarray*}$ . Man schreibt dann aus Gewohnheit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , um anzudeuten, dass die Zusatzregel gilt.

Soviel zum Verständnis, nun zum Abarbeiten der Aufgabe:
(a) Hast du genau so gelöst, wie man das halt machen würde. Irreduzibilität beweisen, sich auf die Tatsache aus dem Skript berufen, fertig.
Ach so, der Grad der Erweiterung: Durch die "Zusatzregel" kannst du jedes Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} \geq 3 \end{eqnarray*}$ "wegmachen". Deswegen brauchst du nur Polynome vom Grad 0, 1 und 2 um eine Basis hinzuschreiben.
(b) Das muss man halt mal gesehen haben, ist aber auch das gleiche wie beim Bestimmen multiplikativer Inverser beim Modulo-Rechnen. Man benutzt den erweiterten Euklidischen Algorithmus, angewendet auf $\begin{eqnarray*} X^3-7 \end{eqnarray*}$ und eben das hier gefragte $\begin{eqnarray*} X^2+1 \end{eqnarray*}$ .
Man bekommt dann am Ende eine Gleichung $\begin{eqnarray*} 1 = a(X^2+1) + b(X^3-7) \end{eqnarray*}$ mit Polynomen $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ . Da aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/J \end{eqnarray*}$ die Vielfachen von $\begin{eqnarray*} X^3-7 \end{eqnarray*}$ Null sind, vereinfacht sich dort die Gleichung zu $\begin{eqnarray*} 1=a(X^2+1) \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (genauer gesagt die Restklasse $\begin{eqnarray*} a+J \end{eqnarray*}$ ) ein multiplikatives Inverses zu $\begin{eqnarray*} X^2+1 \end{eqnarray*}$ .

19.04.2020, 11:21

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} X^3-7 \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel, weil es keine rationale Nullstelle hat. Ein Polynom vom Grad 3 könnte ja nur lineare oder quadratische Faktoen haben. Der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/(X^3-7)=\{g(X)+(X^3-7)\mathbb Q[X]:g(x)\in \mathbb Q[X]\} \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraum mit der Basis $\begin{eqnarray*} \{1,\overline X,\overline X^2\} \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \overline X^3=7 \end{eqnarray*}$ ist, also ein Vektorraum der Dimension 3, und diese Dimension ist der Grad der Körpererweiterung.
Nach dem Homomorphiesatz ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/(X^3-7)\cong \mathbb Q[\alpha]=\mathbb Q(\alpha)\subset\mathbb C \end{eqnarray*}$ , das Ideal $\begin{eqnarray*} (X^3-7)=(X^3-7)\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ist der Kern des Homomorphismus und der Zahlkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha)\subset\mathbb C \end{eqnarray*}$ das Bild des Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi: \mathbb Q[X]\to \mathbb Q[X]/(X^3-7)\to \mathbb C, g(X)\mapsto g(X)+(X^3-1)\mathbb Q[X]\mapsto g(\alpha) \end{eqnarray*}$

19.04.2020, 11:50

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Für b) würde ich $\begin{eqnarray*} \alpha=\overline X \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \alpha^3=7 \end{eqnarray*}$ setzen und das inverse von $\begin{eqnarray*} \alpha^2+1 \end{eqnarray*}$ aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} (a+b\alpha+c\alpha^2)(\alpha^2+1)=1 \end{eqnarray*}$ berechnen. Das ist ein LGS mit den Variablen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ .

@jester. Wenn ich deinen Beitrag rechtzeitig gesehen hätte, hätte ich mich rausgehalten, habe aber schon so schön geschrieben und gerechnet, dass ich mich nicht mehr zurückhalten konnte.

19.04.2020, 16:03

Phasma

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal riesiges DANKE an jester. für die ausführlichen und verständlichen Erklärungen!! Hat mir sehr geholfen.

Zitat:

Original von jester.
Jetzt schau dir mal folgende Abbildung an: $\begin{eqnarray*} f ~:~ \mathbb{Q}[X] \to \mathbb{Q}(\alpha), ~ X \mapsto \alpha \end{eqnarray*}$ (das beschreibt die Abbildung eigentlich schon komplett, genauer beschrieben ist sie aber dadurch, was sie mit einem kompletten Polynom macht: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n a_i X^i \mapsto \sum_{i=0}^n a_i \alpha^i \end{eqnarray*}$ ).

Mach dir klar, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist - und ein Ringhomomorphismus.
Dann solltest du schon an den Homomorphiesatz denken, der besagt, dass das Bild dieses Ringhomomorhpismus isomorph ist zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/\ker(f) \end{eqnarray*}$ .

Wir zäumen das Pferd jetzt gerade von einer etwas anderen Seite auf, als die Aufgabe das tut. Daher nächster Spoiler Alert: $\begin{eqnarray*} \ker(f)=J \end{eqnarray*}$ . Versuche mal, das zu beweisen.

Also, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, weil jedes Element $\begin{eqnarray*} a+b\alpha+c\alpha^2 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ dargestellt werden kann durch $\begin{eqnarray*} f(a+bX+cX^2) \end{eqnarray*}$ . Und dass es ein Ringhomomorphismus ist, ist klar, weil offensichtlich $\begin{eqnarray*} f(p_1+p_2)=f(p_1)+f(p_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(p_1\cdot p_2)=f(p_1)\cdot f(p_2) \end{eqnarray*}$ ist.

Das Ideal $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ liegt auf jeden Fall im Kern von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , weil für ein Polynom aus $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ ja auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist, womit auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Null ist.
Umgekehrt, falls ein Polynom im Kern von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt, hat es die Nullstelle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Damit muss es in $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ liegen. Also ist $\begin{eqnarray*} \ker(f)=J \end{eqnarray*}$ .

Sind diese Argumentationen richtig/ausreichend?

Zu b): Da habe ich beide Methoden gerechnet, die ihr vorgeschlagen habt. Also erweiterter euklidischer Algorithmus und das Gleichungssystem von Elvis (danke auch dafür), das sogar schneller ging, und komme bei beiden Methoden auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{50}(-X^2+7X+1) \end{eqnarray*}$ als Inverses.

19.04.2020, 16:23

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Für

$\begin{align*} \xi = a + b \alpha + c \alpha^2 \end{align*}$

habe ich nach Elvis' Vorschlag allgmein mit der Cramerschen Regel

$\begin{align*} \xi^{-1} = \frac{a^2 - 7bc}{\Delta} + \frac{7c^2 - ab}{\Delta} \alpha + \frac{b^2 - ac}{\Delta} \alpha^2 \ \ \text{mit} \ \ \Delta = a^3 + 7b^3 + 49c^3 - 21abc \end{align*}$

erhalten. Mit $\begin{align*} a=1, b=0, c=1 \end{align*}$ ergibt das $\begin{align*} \xi^{-1} = \frac{1}{50} + \frac{7}{50} \alpha - \frac{1}{50} \alpha^2 \end{align*}$ , was wunderbar zum Gesagten paßt.

20.04.2020, 07:39

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Phasma
Umgekehrt, falls ein Polynom im Kern von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt, hat es die Nullstelle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Damit muss es in $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ liegen. Also ist $\begin{eqnarray*} \ker(f)=J \end{eqnarray*}$ .

Hier könnte man etwas detaillierter argumentieren.
Hinweis: Sei $\begin{eqnarray*} p\in\ker(f) \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit Rest durch $\begin{eqnarray*} X^3 -7 \end{eqnarray*}$ dividieren, Grad des Rests betrachten. Der Rest hat $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ als Nullstelle, folgern dass der Rest Null sein muss.

20.04.2020, 11:39

Phasma

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir $\begin{eqnarray*} p \in \ker(f) \end{eqnarray*}$ mit Rest durch $\begin{eqnarray*} X^3-7 \end{eqnarray*}$ dividieren, hat der Rest einen Grad $\begin{eqnarray*} <3 \end{eqnarray*}$ . Da aber $\begin{eqnarray*} \alpha=\sqrt[3]{7} \end{eqnarray*}$ Nullstelle des Rests sein muss, muss der Rest gleich Null sein, weil ein Polynom vom Grad kleiner 3 sonst unmöglich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{7} \end{eqnarray*}$ als Nullstelle haben kann.

Neue Frage »

Antworten »

Polynomring, Ideal, Körpererweiterung

Verwandte Themen