Summe einer invertierten nilpotenten Matrix

19.04.2020, 16:23

dastimle

Summe einer invertierten nilpotenten Matrix

Hallo liebes Forum,
ich habe schon einen Thread in der Algebra eröffnet, habe aber noch eine kleine Frage.
Eine nilpotente Matrix ist dadurch definiert, dass A^n = 0 ist - richtig?
Somit ist im unteren Dreieck = 0 und die Diagonale = 0 oder?
1 kann ja kein Eigenwert dieser Matrix sein, und deshalb ist I - A invertierbar.
Wie zeige ich, dass für $\begin{eqnarray*} (I -A)^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} (I -A)^{-1} = \sum\limits_{k=0}^{n} A^k. \end{eqnarray*}$

19.04.2020, 16:38

Leopold

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RE: Summe einer invertierten nilpotenten Matrix

Zitat:

Original von dastimle
Eine nilpotente Matrix ist dadurch definiert, dass A^n = 0 ist - richtig?

… daß es ein n gibt, so daß ...

Zitat:

Original von dastimle
Somit ist im unteren Dreieck = 0 und die Diagonale = 0 oder?

Dann rechne einmal $\begin{align*} N^3 \end{align*}$ aus für die Matrix

$\begin{align*} N = \begin{pmatrix} 8 & 10 & 28 \\ -2 & -2 & -8 \\ -2 & -3 & -6 \end{pmatrix} \end{align*}$

19.04.2020, 17:32

Luftikus

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RE: Summe einer invertierten nilpotenten Matrix

Zitat:

Original von dastimle
Wie zeige ich, dass für $\begin{eqnarray*} (I -A)^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} (I -A)^{-1} = \sum\limits_{k=0}^{n} A^k. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (I -A) B = I, \; {mit} \; B:=\sum\limits_{k=0}^{n-1} A^k \end{eqnarray*}$

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