Beweis mittels Rolle und MWS

20.04.2020, 15:44	Differenzenqotient	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mittels Rolle und MWS Meine Frage: Guten Tag, habe eine Frage ob ich meinen Beweis so führen kann und ob dieser richtig ist. Zur Aufgabe: Für a < b seien die Funktionen f,g: [a,b] -> R stetig und auf (a,b) differenzierbar. Außerdem gelte g'(x) ungleich 0 für alle x aus (a,b). Zu zeigen: g(a) ungleich g(b) Meine Ideen: Habe einen kurzen und einen längeren Beweis: Lang: Nach dem Mittelwertsatz gilt: $\begin{eqnarray} \frac{g(b)-g(a)}{b-a} = g'(x) <=> g(b) = g(a) + (b-a)g'(x)<br /> \frac{g(b)-g(a)}{b-a} = g'(x) <=> g(b) - g(a) = g'(x)(b-a) <=> -g(a) = -g(b) + (b-a)g'(x) <=> g(a) = g(b) - (b-a)g'(x) \end{eqnarray}$ => g(a) ungleich g(b) Kurz: Angenommen g(a) = g(b) => nach Rolle: es existiert ein x aus (a,b) mit g'(x) = 0 => Widerspruch zur Annahme für alle x aus (a,b) gilt g'(x) ungleich 0 => g(a) muss ungleich g(b) sein. Sind die Beweise richtig und durchführbar? MFG

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