Unbefriedigende Definition der Gleichmächtigkeit von Mengen

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Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »
Unbefriedigende Definition der Gleichmächtigkeit von Mengen
Meine Frage:
Hallo!
Da dies mein erster Post ist, wollte ich mich vorstellen. Zumindest meine ich, dass man das so in Foren macht.
Ich habe keine spezielle Lieblingsdisziplin, sondern mache das, was mir gerade Spaß macht (Tipp: So kommt man nicht wirklich voran). Ich wandle schon seit geraumer Zeit in diesem Forum, und habe nun beschlossen, mich anzumelden. Für gewöhnlich stelle ich keine Fragen zu Aufgaben, sondern mehr "philosophische" Fragen, oder Fragen zu Definition, wie hier.
Außerdem schreibe ich lange Sätze.

Meine Frage ist jedenfalls zur Definition der Mächtigkeit:
"Zwei Mengen und sind gleichmächtig, wenn es zwischen ihnen eine Bijektion gibt".
Dazu gibt es gleich ein Beispiel. Die folgende Abbildung ist bijektiv:

Also sind diese beiden Mengen gleichmächtig.
Aber, was ist wenn ich eine Vorschrift habe, die reinzufälligerweise keine Bijektion erzeugt. In der Definition ist ja nach einer Abbildung gefragt. Wie kann ich mir sicher sein, nicht zufälligerweise nur Abbildungen auszuprobieren, die keine Bijektion erzeugen.

Gerne etwas mehr tiefergehend.

Tangentialvektor


Meine Ideen:
.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In der Definition ist nicht nach einer Abbildung gefragt, es wird nur die Existenz einer Abbildung gefordert. Wenn man eine bijektive Abbildung zwischen zwei Mengen hat, dann sind die beiden Mengen gleichmächtig. Wenn man keine bijektive Abbildung zwischen zwei Mengen hat, dann sind die beiden Mengen gleichmächtig oder auch nicht. Wenn es keine bijektive Abbildung zwischen zwei Mengen gibt, dann sind die beiden Mengen nicht gleichmächtig. Wenn man keinen Beweis für die eine oder andere Eigenschaft hat, dann kann man die Frage noch nicht entscheiden.

Existenzbeweise müssen nicht immer konstruktiv sein. Wir wissen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat und dass je zwei Basen gleichmächtig sind. Noch hat niemand eine Ahnung, wie man eine Basis des rationalen Vektorraums der reellen Zahlen konstruieren könnte. Also kann auch niemand 2 Basen angeben und eine bijektive Abbildung zwischen beiden, wir wissen trotzdem, dass sie gleichmächtig sind, denn sie existieren und müssen gleichmächtig sein.
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Sei mit irgendeiner Vorschrift , dann kann ich mir beliebig wählen. Ich nehme mal , was zu einer Injektion, aber keiner Surjektion führt. Folglich gilt: .
Aber ich könnte auch ein , was eine Bijektion erzeugt, wodurch dann gilt. Aber das widerspricht sich. Oder gibt es irgendein Satz, der das ausschließt?
Natürlich, wenn ein weder injektiv, noch surjektiv ist, kann ich mir keine Aussage erlauben.
Das ist eben mein Problem, dass sich und widersprechen.

- Tangentialvektor
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Injektion heißt , also kleiner oder gleich, und das widerspricht nicht der Gleichheit. Bijektiv bedeutet gleichmächtig, bijektiv ist injektiv und surjektiv, also kann bijektiv kein Widerspruch zu injektiv sein.
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt ein wenig peinlich.
Was bedeutet dann Surjektivität bzgl. der Mächtigkeit?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

surjektiv, dann ist . Wenn ich links weniger Elemente habe, kann ich nicht alle auf der rechten Seite durch eine Funktion erreichen, denn eine Funktion ordnet jedem Element von A genau eines von B zu.
 
 
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Aber nochmals zur Ursprungsfrage:
Kann es passieren, dass ich eine Abbildung von A auf B habe und mit verschiedenen Vorschriften f(x) verschiedene Ergebnisse bzgl. der Bijektivität bekomme?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, der Vergleich von Mächtigkeiten ist über die Existenz von Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften definiert. Es können keine Widersprüche auftreten.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Nur weil es eine Bijektion zwischen zwei Mengen gibt, ist nicht jede Abbildung zwischen diesen Mengen eine Bijektion.
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nochmals drüber nachgedacht, und ich glaube, es ist jetzt einleuchtend.
Danke!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt ein weißes Pferd, es gibt ein braunes Pferd, es gibt ein schwarzes Pferd. Das ist kein Problem und kein Widerspruch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

… und nicht zu vergessen die berühmten Blumentopferde.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Tangentialvektor, ich habe deine Frage nicht so ernst genommen, wie sie es verdient, dafür entschuldige ich mich hiermit in aller Form (fühle dich gebauchpinselt, denn so etwas kommt sehr selten vor).

Viele Mathematiker, die sich mit Mengenlehre beschäftigen, wissen worum es geht, und wir haben die Vergleichbarkeit von Mengen so sehr verinnerlicht, dass wir sie mittlerweile für selbstverständlich halten und nicht mehr hinterfragen. Das ist ein grober Fehler, den ein Georg Cantor nie gemacht hätte. Das zeigt wieder einmal, dass Georg Cantor ein Genie war und wir nicht, was wir beides nicht ernsthaft bezweifeln können.

Oliver Deiser schreibt in seiner "Einführung in die Mengenlehre, Kapitel 5. Der Vergleichbarkeitssatz"

ZITAT ANFANG
Der Vergleichbarkeitssatz, von Cantor lange Zeit vermutet, wurde zum ersten Mal streng bewiesen durch Ernst Zermelo (1904; der Satz ist ein Korollar zum Zermeloschen Wohlordnungssatz). Er beantwortet die an dieser Stelle der Diskussion wohl natürlichste Frage positiv, nämlich: Sind je zwei Mengen in ihrer Mächtigkeit vergleichbar?
Der Beweis des Satzes ist der härteste Brocken dieser Einführung, und der nicht allzu ehrgeizige Leser kann zunächst nur seine Aussage zur Kenntnis nehmen und den Beweis überschlagen.
Satz (Vergleichbarkeitssatz) Seien Mengen. Dann gilt oder .
ZITAT ENDE

Das heißt, zu je zwei Mengen gibt es stets eine injektive Abbildung von der einen Menge in die andere. Den Beweis findest du hier : http://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1_1_5
(Dieser Beweis ist wirklich hart, du musst ihn nicht verstehen, aber du darfst es versuchen.)
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